Die Regel von L'Hospital

24.07.2013, 08:14

Mathelover

Die Regel von L'Hospital

Hey liebe Boardies,

Ich soll folgende Funktion auf Konvergenz untersuchen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}\frac{x^{2}cos\frac{1}{x}}{e^{x} -1} \end{eqnarray*}$

Ich hab hier direkt L'Hospital angewendet, da (0/0) für x->0.

In der Lösung steht aber:

Die Regel von L'Hospital ist (direkt) nicht anwendbar, weil $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \frac{2x cos\frac{1}{x}+sin\frac{1}{x} }{e^{x}} \end{eqnarray*}$
nicht existiert.

Wie kommen die jetzt von
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}\frac{x^{2}cos\frac{1}{x}}{e^{x} -1} \end{eqnarray*}$
auf
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0}\frac{2x cos\frac{1}{x}+sin\frac{1}{x} }{e^{x}} \end{eqnarray*}$
und folgern dadurch, dass der Grenzwert nicht existiert?

Ich versteh das nicht.

24.07.2013, 08:24

klarsoweit

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RE: Die Regel von L'Hospital
Leite mal (wie es die l'Hospital-Regel will) Zähler und Nenner ab. Augenzwinkern

24.07.2013, 08:30

Mathelover

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RE: Die Regel von L'Hospital
Ah okay, jetzt komm ich auf den selben Term Big Laugh

Und wie folgern die jetzt, dass der Grenzwert nicht existiert, weil etwa für $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \end{eqnarray*}$ es Probleme bei $\begin{eqnarray*} sin\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ gibt?

Vielen Dank.

24.07.2013, 08:34

klarsoweit

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RE: Die Regel von L'Hospital

Zitat:

Original von Mathelover
Und wie folgern die jetzt, dass der Grenzwert nicht existiert, weil etwa für $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} \end{eqnarray*}$ es Probleme bei $\begin{eqnarray*} sin\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ gibt?

Richtig.

24.07.2013, 08:37

Mathelover

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RE: Die Regel von L'Hospital
Cooooooool, vielen Dank klarsoweit Freude

24.07.2013, 10:56

Nofeykx

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Ich bin mir nicht ganz sicher, ob Mathelover den Zusammenhang richtig verstanden hat, deswegen schreib ich's nochmal:

Man kann hier natürlich deswegen nicht auf "Nicht-Konvergenz" schließen. Es ist lediglich die Regel von L'H nicht anwendbar.

24.07.2013, 11:02

alterHund

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Der Wert einer Winkelfunktion mit Argument 1/x, x -> 0, ist immer undefiniert, der gefragte Grenzwert existiert nicht.

24.07.2013, 11:05

Nofekx

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Das trifft aber nur auf den Grenzwert der Ableitungen zu. Der ursprüngliche Grenzwert existiert eben sehr wohl. (Das war es, worauf ich hinauswollte)

24.07.2013, 11:25

Mathelover

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Zitat:

Original von Nofeykx
Ich bin mir nicht ganz sicher, ob Mathelover den Zusammenhang richtig verstanden hat, deswegen schreib ich's nochmal:

Man kann hier natürlich deswegen nicht auf "Nicht-Konvergenz" schließen. Es ist lediglich die Regel von L'H nicht anwendbar.

Danke für die Bemerkung Nofeykx :-)

24.07.2013, 17:31

Gordon&Bob

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Zitat:

Original von alterHund
Der Wert einer Winkelfunktion mit Argument 1/x, x -> 0, ist immer undefiniert, der gefragte Grenzwert existiert nicht.

Der Kosinus ist aber immer beschränkt und wegen

$\begin{eqnarray*} \lim_{x\to 0}\frac{x^2}{e^x-1}=0 \end{eqnarray*}$

zieht dieses Argument hier also nicht.

24.07.2013, 19:12

alterHund

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ja, ist mir auch schon klar geworden - ein fehlerhaftes CAS ( maxima ) hatte mich irritiert.

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