Frage zur Fallunterscheidung bei Ungleichungen

24.07.2013, 15:33

küb

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Frage zur Fallunterscheidung bei Ungleichungen

Meine Frage:
Hey Leute smile

smile

Komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:

Ich soll die Lösungsmenge von folgender Ungleichung bestimmen:

$\begin{eqnarray*} || 2x+3 |+| -3x | | \leq 4x \end{eqnarray*}$

Mein Problem besteht darin, dass ich nicht die ganzen versch. Fälle bei solch einer ermitteln kann..
Hab schon mal 4, weiß aber nicht, ob das wirklich so stimmt:

1) $\begin{eqnarray*} 2x+3\geq0 , -3x\geq0 \end{eqnarray*}$

Somit wären: $\begin{eqnarray*} |2x+3 | = 2x+3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |-3x |= -3 \end{eqnarray*}$

2) $\begin{eqnarray*} 2x+3\geq0 , -3x<0 \end{eqnarray*}$

Somit wären: $\begin{eqnarray*} |2x+3 | = 2x+3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |-3x |= 3 \end{eqnarray*}$

3) $\begin{eqnarray*} 2x+3<0 , -3x\geq 0 \end{eqnarray*}$

Somit wären: $\begin{eqnarray*} |2x+3 | = -2x-3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |-3x |= -3 \end{eqnarray*}$

4) $\begin{eqnarray*} 2x+3<0 , -3x< 0 \end{eqnarray*}$

Somit wären: $\begin{eqnarray*} |2x+3 | = -2x-3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |-3x |= 3 \end{eqnarray*}$

Stimmt das soweit?

Was ist jetzt mit den äußeren Beträgen? Ich krieg die irgendwie nicht mit rein..

Meine Ideen:

24.07.2013, 16:14

HAL 9000

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Mit ein paar Vorüberlegungen kannst du dir hier extrem viel Arbeit sparen:

Die linke Ungleichungsseite ist aufgrund der äußeren Betragsstriche stets nichtnegativ. Also kann die Ungleichung für $\begin{eqnarray*} x<0 \end{eqnarray*}$ nicht erfüllt sein, da dann rechts mit $\begin{eqnarray*} 4x \end{eqnarray*}$ etwas Negatives steht, was unmöglich größer oder gleich dieser nichtnegativen linken Seite sein kann!

Also muss man in der Folge nur noch $\begin{eqnarray*} x\geq 0 \end{eqnarray*}$ betrachten, und für diesen Fall fällt alles wie ein Kartenhaus zusammen:

$\begin{eqnarray*} |-3x| = 3x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |2x+3| = 2x+3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} | |2x+3| + |-3x| | = 2x+3 + 3x = 5x+3 \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Die äußeren Betragsstriche links waren eh völlig zweckfrei, denn es ist ja

$\begin{eqnarray*} ||a| + |b|| = |a| + |b| \end{eqnarray*}$

da $\begin{eqnarray*} |a|+|b| \end{eqnarray*}$ sicher nichtnegativ ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.07.2013, 16:15

Dopap

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RE: Frage zur Fallunterscheidung bei Ungleichungen
1) $\begin{eqnarray*} 2x+3\geq0 , -3x\geq0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |2x+3 | = 2x+3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |-3x |= -3 {\color{red}x} \end{eqnarray*}$

2) $\begin{eqnarray*} 2x+3\geq0 , -3x<0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |2x+3 | = 2x+3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |-3x |= 3 {\color{red}x} \end{eqnarray*}$

3) $\begin{eqnarray*} 2x+3<0 , -3x\geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |2x+3 | = -2x-3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |-3x |= -3{\color{red}x} \end{eqnarray*}$

4) $\begin{eqnarray*} 2x+3<0 , -3x< 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |2x+3 | = -2x-3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |-3x |= 3{\color{red}x} \end{eqnarray*}$
-------------------------------
da sind dir ein paar x'se abhanden gekommen.

Theoretisch ist jetzt auf jeden der 4 Fälle eine weitere Fallunterscheidung notwendig.
Also 8 Fälle.
ich würde zuerst mal die 4 Definitionsmengen bestimmen, evtl gibt es ja leere Mengen...

24.07.2013, 16:25

alterHund

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plotten lassen ( linke Seite,, rechte Seite ) ist auch interessant.

24.07.2013, 16:39

küb

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Zitat:

Theoretisch ist jetzt auf jeden der 4 Fälle eine weitere Fallunterscheidung notwendig.
Also 8 Fälle.

Wegen der äußeren Betragsstriche oder? Das hab ich mir auch überlegt, aber als ich die nächsten 4 Fälle aufgeschrieben habe, waren jeweils 2 davon identisch.. Vllt hab ich das auch falsch gemacht..

Zitat:

Mit ein paar Vorüberlegungen kannst du dir hier extrem viel Arbeit sparen:

Ich muss auf jeden Fall erst alle Fälle aufschreiben, auch wenn ich danach erkennen werde, dass ich einige nicht brauche..

Zitat:

P.S.: Die äußeren Betragsstriche links waren eh völlig zweckfrei, denn es ist ja

$\begin{eqnarray*} ||a| + |b|| = |a| + |b| \end{eqnarray*}$

da $\begin{eqnarray*} |a|+|b| \end{eqnarray*}$ sicher nichtnegativ ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber wenn das keine Bedeutung hätte, dann hätten die das doch nicht so in die Aufgabe geschrieben, oder? Ich hab auf einer anderen Seite eine Aufgabe gefunden, wo es ungefähr so aussah:

$\begin{eqnarray*} | | x+ 2| +2 | \end{eqnarray*}$ und da haben die das auch so berechnet, dass sie auf die inneren und äußeren Betragsstriche eingehen.. Hat mir aber nicht viel weitergeholfen, weil bei mir ja noch weitere Betragsstriche mit drin sind -.-

Zitat:

$\begin{eqnarray*} | |2x+3| + |-3x| | = 2x+3 + 3x = 5x+3 \end{eqnarray*}$ .

Aber wenn ich jetzt mal davon ausgehen würde, dass das als Lösung verlangt wäre, dann wäre meine Lösungsmenge
$\begin{eqnarray*} L= [\frac{3}{5} , \infty [ \end{eqnarray*}$ Oder?

Edit: Achso nein.. Ich meinte L= ]-unendlich, 5]

Zitat:

plotten lassen ( linke Seite,, rechte Seite ) ist auch interessant.

Versteh ich leider überhaupt nicht, was damit gemeint ist ^^'

24.07.2013, 16:44

alterHund

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@küb: dann tippe mal

abs(abs(2*x+3) + abs(-3*x)),4*x

in den Funktionsplotter ein.

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24.07.2013, 16:51

küb

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24.07.2013, 17:01

HAL 9000

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Zitat:

Original von küb
Aber wenn das keine Bedeutung hätte, dann hätten die das doch nicht so in die Aufgabe geschrieben, oder?

Wenn du so an die Dinge herangehst, dann bist du ein hervorragendes Opfer für Fangfragen. smile

smile

24.07.2013, 17:02

alterHund

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und - siehst Du die Lösungsmenge?

24.07.2013, 17:04

küb

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Hm.. Ich weiß nicht, ob das wirklich nur eine Fangfrage sein soll ^^'

Hab gesehen, dass diese Frage schon vorher in anderen Foren gestellt wurde und da sind die irgendwie auch von 8 Fällen ausgegangen..

Edit: @AlterHund: Die Parabel hat immer größere (edit) y-Werte als die Gerade für alle x (edit)

24.07.2013, 17:09

alterHund

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ok, ist zwar keine "Parabel" aber die linke Seite der Gleichung - und die Lösung kennst Du ja schon.

Für weitere solche ( schwierige ? ) Aufgaben könnte Plotten eine Orientierungshilfe sein.

24.07.2013, 17:13

küb

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Jetzt kann ich mir das zawr bildlich vorstellen.. Aber schriftlich berechnet hab ich es noch nicht...
Vom Ablesen her würde ich ja sagen, dass ich am Ende auf die Lösung
L= ]-unendlich, unendlich[ kommen müsste..

24.07.2013, 17:32

HAL 9000

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Zitat:

Original von küb
Jetzt kann ich mir das zawr bildlich vorstellen.. Aber schriftlich berechnet hab ich es noch nicht...
Vom Ablesen her würde ich ja sagen, dass ich am Ende auf die Lösung
L= ]-unendlich, unendlich[ kommen müsste..

Dann hast du wohl die beiden Kurven verwechselt? Tatsächlich ist $\begin{eqnarray*} L=\emptyset \end{eqnarray*}$ , d.h. es gibt gar keine Lösung.

24.07.2013, 17:39

küb

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Ja, haste Recht Big Laugh

Big Laugh

Ich hab die eine Aussage von mir so oft editiert, dass ich selber nicht mehr durchgeblickt hab xD

Also bist du dir 100% sicher, dass die äußeren Betragsstriche nichts zu bedeuten haben?

24.07.2013, 17:45

HAL 9000

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Zitat:

Original von küb
Also bist du dir 100% sicher, dass die äußeren Betragsstriche nichts zu bedeuten haben?

Angesichts dieses grundlosen Misstrauens bin ich weg. Finger2

Finger2

Gibt ja genügend Helfer hier im Thread, viel Erfolg noch auf dem Weg mit den 8 Fällen. Wink

Wink

24.07.2013, 17:56

küb

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Zitat:

Angesichts dieses grundlosen Misstrauens bin ich weg. Finger2

Finger2

geschockt

so hab ich das doch nicht gemeint unglücklich

unglücklich

Ich werd die äußeren Betragsstriche jetzt mal einfach ignorieren und so rechnen..

24.07.2013, 18:02

Dopap

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ich meine, eine solche Aufgabe kann man ruhig von Innen nach Aussen angehen.
Und die 4 Fälle rechnen. Irgendetwas wird dann schon passieren. Und dann kommt man auch beim letzten Betrag schnell zur Einsicht.

Es ist ja so, dass die Bestimmung einer Lösungsmenge auch diesen Fall enthalten kann.

24.07.2013, 18:15

küb

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Ich werds mal probieren und mich dann melden, falls irgendwas nicht in Ordnung ist.

24.07.2013, 20:07

küb

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Ich hab jetzt alle 4 Fälle berechnet.

3 davon waren Widersprüche -> also eine leere Lösungsmenge

Der Fall 1) erbrachte die Lösung

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{5} \leq x \end{eqnarray*}$

Wenn man sich das graphisch mal anguckt, so wie alterHund es mir geraten hatte, dann sieht man dass die Ungleich für

x=3/5 zutrifft,

aber nicht für x>3/5

Jetzt weiß ich nicht, wie ich das irgendwie rechnerisch herausfinden kann..

24.07.2013, 20:23

alterHund

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der rote Teil ist | ... | der grüne Teil 4x, und die Ungleichung verlangt | ... | <= 4x . Wo ist das erfüllt?

24.07.2013, 20:32

küb

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Huch.. Hab die ganze Zeit irgendwie falsch abgelesen..

Aber dann ist es doch merkwürdig, dass ich auf dieses Ergebnis komme.. Das müsste doch auch einen Widerspruch ergeben..

Fall1:

$\begin{eqnarray*} 2x+3 \geq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -3x \geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} | 2x+3 | = 2x+3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} | -3x | = -3x \end{eqnarray*}$

Annahme: $\begin{eqnarray*} x \geq -\frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

Jetzt die Ungleichugn lösen

$\begin{eqnarray*} 2x+3+3x \leq 4x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x \geq \frac{3}{5} \end{eqnarray*}$

Kein Widerspruch zur Annahme.

Wo liegt mein Fehler?

24.07.2013, 20:41

alterHund

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ich mag nicht mehr

24.07.2013, 20:44

küb

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Hab ich ganz am Anfang alles geschrieben.. Da hat mich keiner korrigiert, darum dachte ich, dass das so richtig ist..

24.07.2013, 20:54

alterHund

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ok, Du hast es gelesen bevor ich edierte,

aber "ganz oben" ist $\begin{eqnarray*} 2x + 3 \ge 0\text{~schon~ein~Widerspruch~zu~}-3x \ge 0 \end{eqnarray*}$

24.07.2013, 21:02

küb

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Ja, hast du Recht..

Ist das mit dem Betrag(-3) = -3 trotzdem falsch?

Habs jetzt nämlich zu = 3 geändert und kam am Ende auf eine leere Lösungsmenge..

24.07.2013, 21:06

alterHund

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Du hast Dir die Frage "Ist das mit dem Betrag...", selbst beantwortet.

24.07.2013, 21:07

küb

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Ok, danke für deine Geduld ^^' Freude

Freude

Jetzt hab ich es aber wenigstens zu Ende geschafft smile

smile

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