Prinzip! Ungleichung

24.07.2013, 18:17

profi12

Ungleichung

Meine Frage:
Hallo ich habe gerade Probleme bei einer Aufgabe:

Beweisen sie mithilfe vollständiger Induktion

2n + 1 <2^n für alle n >= 3

für n= 3 wahr

Beim Induktionsschritt habe ich Probleme :

$\begin{eqnarray*} 2*(n+1) < 2^{n+1} \end{eqnarray*}$

WIe muss ich genau weiter vorgehen ?

Meine Ideen:
gepostet soweit es geht

24.07.2013, 18:36

Dopap

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RE: Ungleichung

Zitat:

Original von profi12

Beim Induktionsschritt habe ich Probleme :

$\begin{eqnarray*} 2*(n+1) < 2^{n+1} \end{eqnarray*}$

Wo ist die 1 geblieben ??

müsste es nicht $\begin{eqnarray*} 2(n+1)+1<2^{n+1} \end{eqnarray*}$ heissen ?

24.07.2013, 18:37

profi12

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Oh ja habs irgendwie vergessen .

Hast du paar tips für mich wie ich weiter vorgehen soll?

24.07.2013, 18:51

Iorek

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Zitat:

Original von profi12
Hast du paar tips für mich wie ich weiter vorgehen soll?

Zum Glück gibt es bei einer Induktion eine fest vorgeschriebene Reihenfolge, was man wann zu machen hat. Nach dem Induktionsanfang formuliert man die Induktionsvoraussetzung und versucht diese dann im Induktionsschritt anzuwenden. Also: suche im Induktionsschritt nach einer Möglichkeit die Induktionsvoraussetzung einzubringen.

24.07.2013, 18:59

profi12

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Das problem ist wie setze ich das hier genau in der ungleichung ein?

DAs macht mir jetzt richtig probleme.

24.07.2013, 19:13

Iorek

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Da du bisher noch nichts vorgestellt hast, kann man dir dabei auch nicht helfen.

Formuliere die Induktionsvoraussetzung, fange mit dem Induktionsschritt an und versuche, einen Teil der Induktionsvoraussetzung wieder zu finden. Dir wird hier keiner sämtliche Schritte vorkauen, das solltest du mittlerweile wissen.

24.07.2013, 19:26

profi12

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$\begin{eqnarray*} 2n + 1 <2^n \end{eqnarray*}$

Induktionsschritt:

$\begin{eqnarray*} 2*(n+1) + 1 <2^{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2n+2+1 <2^{n+1} \end{eqnarray*}$

Aber ich verstehe nicht so genau wie ich hier jetzt genau die voraussetzung einsetzen soll?

Ich komme einfach nicht auf die idee.

24.07.2013, 19:31

Iorek

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Zitat:

Original von Iorek
Formuliere die Induktionsvoraussetzung

Wenn du die Induktionsvoraussetzung einmal ausformuliert hinschreibst, könnte das helfen.

24.07.2013, 19:40

profi12

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Die vorraussetzung habe ich doch gerade hingeschrieben.

Tut mir leid ich komme nicht darauf.

24.07.2013, 20:16

Gordon&Bob

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Zitat:

Original von profi12
$\begin{eqnarray*} 2n + 1 <2^n \end{eqnarray*}$

Induktionsschritt:

$\begin{eqnarray*} 2*(n+1) + 1 <2^{n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2n+2+1 <2^{n+1} \end{eqnarray*}$

Aber ich verstehe nicht so genau wie ich hier jetzt genau die voraussetzung einsetzen soll?

Ich komme einfach nicht auf die idee.

Du solltest versuchen unter Nutzung der IV

$\begin{eqnarray*} 2n+1<2^n,~n\geq 3 \end{eqnarray*}$

zu zeigen dass

$\begin{eqnarray*} (2n+1)+2<2^{n+1}. \end{eqnarray*}$

Jetzt guck Die die linke Seite der zu zeigenden Ungleichung mal ganz genau an und schätze mit der IV nach oben ab.

24.07.2013, 20:54

Dopap

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das versteh ich selber nicht !

24.07.2013, 21:56

profi12

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Haha Dopap der war gut .

Vielleicht kannst du was in den Raum werfen ?

24.07.2013, 22:04

Iorek

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Da du nach wie vor keine Eigenarbeit leistest und dir lieber alles von Dopap zuschmeißen lassen willst, schließe ich den Thread hier.