Stochastische Unabhängigkeit und bedingte Wahrscheinlichkeiten

24.07.2013, 20:02	bers	Auf diesen Beitrag antworten »
Stochastische Unabhängigkeit und bedingte Wahrscheinlichkeiten Meine Frage: Hallo zusammen, ich frag mich gerade: Wenn B und C stoch. unabhängige Ereignisse sind, gilt $\begin{eqnarray} P(B)P(C) = P(B\cap C) \end{eqnarray}$ . Aber gilt dann auch $\begin{eqnarray} P(B\|A)P(C\|A) = P(B\cap C\|A) \end{eqnarray}$ ? Danke bers Meine Ideen: Ich glaube schon, und intuitiv ist's mir auch klar (wenn eine Gleichung für eine Menge gilt, muss sie auch für eine Untermenge gelten, oder?), aber ich kann's nicht beweisen. Wenn A,B und C (: gemeinsam) stoch. unabhängig sind, ist der Beweis leicht: $\begin{eqnarray} P(B\|A)P(C\|A) = P(B) P(C) = P(B) P(C) P(A) / P(A) \\<br /> = P(B\cap C \cap A) / P(A) = P((B\cap C) \cap A) / P(A) = P(B \cap C \| A) \end{eqnarray}$ Aber gilt das auch für beliebiges A? Ich habe leider kein Gegenbeispiel konstruieren können. Ich hab auch nicht auf Anhieb den Punkt finden können, wie ich mit meiner Idee einen Gegenbeweis konstruieren könnte, weil bei mangelnder Unabhängigkeit von A gleich zwei Gleichheitszeichen ungültig werden.
24.07.2013, 20:19	bers	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaub, durch meinen Edit bin ich drauf gekommen, dass meine Gleichung nicht allgemein gilt. Das sieht man leicht, wenn man paarweise stoch. Unabhängigkeit, aber nicht gemeinsame stoch. Unabhängigkeit voraussetzt. Dann nämlich gelten alle Gleichheitszeichen bis auf das am Anfang der zweiten Zeile (dieses mag in Einzelfällen geilten, aber nicht allgemein), und damit ist die Nicht-allgemein-Gleichheit gezeigt. Schade! Kann dem jemand folgen und mir bestätigen? Edit: Hab ich selbst erledigt anhand von https://en.wikipedia.org/wiki/File:Pairwise_independent.svg P(B) = 1/2, P(C) = 1/4, P(B,C) = 1/8, passt P(B\|A) = 1/2, P(C\|A) = 1/4, P(B,C\|A) = 1/5, passt nicht
24.07.2013, 20:30	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Oder dieses kanonisch konstruierte Gegenbeispiel: $\begin{eqnarray} \Omega = \{0,1\}^3 \end{eqnarray}$ mit W-Maß $\begin{eqnarray} P(\{(0,0,0)\}) = P(\{(1,1,1)\}) = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(\{(1,0,0)\}) = P(\{(0,1,1)\}) = \frac{1}{4} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(\{(0,0,1)\}) = P(\{(0,1,0)\}) = P(\{(1,0,1)\}) = P(\{(1,1,0)\}) = \frac{1}{8} \end{eqnarray}$ Wir wählen die Ereigniss $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ ... erste Komponente ist Null $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ ... zweite Komponente ist Null $\begin{eqnarray} C \end{eqnarray}$ ... dritte Komponente ist Null Dann ist offenbar $\begin{eqnarray} P(A) = P(B) = P(C) = \frac{1}{2},P(B\cap C) = \frac{1}{4} \end{eqnarray}$ aber $\begin{eqnarray} P(A\cap B) = P(A\cap C) = \frac{1}{8},P(A\cap B\cap C) = 0 \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} P(B \bigm\| A) = P(C \bigm\| A) = \frac{1}{4},P(B\cap C \bigm\| A) = 0 \end{eqnarray}$ .

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »