Ungleichung - Bruch und Wurzel

24.07.2013, 20:38

küb

Ungleichung - Bruch und Wurzel

Meine Frage:
Hey Leute,

und schon wieder macht es mir eine Ungleichung zu schaffen -.-

Ich soll für $\begin{eqnarray*} x,y \in \mathbb R , x, y \geq 0 \end{eqnarray*}$ folgende Ungleichung beweisen:

$\begin{eqnarray*} \frac{x+y}{2} \leq \sqrt{\frac{x^{2}+y^{2} }{2} } \end{eqnarray*}$

Nach Umformen kam ich auf folgendes:

$\begin{eqnarray*} x+y \leq 2 \end{eqnarray*}$

Ist das als Beweis genug? Bzw. ist das Ergebnis falsch?

Ich weiß gar nicht, wie das am Ende aussehen soll, damit das bewiesen ist.. unglücklich

Meine Ideen:

24.07.2013, 22:09

original

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RE: Ungleichung - Bruch und Wurzel

Zitat:

Original von küb
[
Ich soll für $\begin{eqnarray*} x,y \in \mathbb R , x, y \geq 0 \end{eqnarray*}$ folgende Ungleichung beweisen:

$\begin{eqnarray*} \frac{x+y}{2} \leq \sqrt{\frac{x^{2}+y^{2} }{2} } \end{eqnarray*}$

Nach Umformen kam ich auf folgendes: traurig

nun,
meistens geht das beim Beweisen so:
von einer gesicherten (wahren, richtigen) Aussage ausgehend,
wird durch schrittweises korrektes Umformen das gewünschte neue Ziel erreicht smile

Beispiel

für alle x, y wahre Aussage:

$\begin{eqnarray*} (x-y)^2 \geq 0 \end{eqnarray*}$

=>

$\begin{eqnarray*} x^2-2xy+y^2 \geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x^2-2xy+2y^2 \geq x^2+y^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x^2+2y^2 \geq x^2+2xy+y^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x^2+2y^2 \geq (x+y)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2+y^2}{2} \geq \frac{(x+y)^2}{4} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{(x+y)^2}{4} \leq \frac{x^2+y^2}{2} \end{eqnarray*}$

kannst du selber fertig überlegen? verwirrt

24.07.2013, 22:16

küb

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RE: Ungleichung - Bruch und Wurzel

Zitat:

$\begin{eqnarray*} (x-y)^2 \geq 0 \end{eqnarray*}$

Wie kommst du denn darauf? geschockt

24.07.2013, 22:21

original

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RE: Ungleichung - Bruch und Wurzel

Zitat:

Original von küb

Zitat:

$\begin{eqnarray*} (x-y)^2 \geq 0 \end{eqnarray*}$

Wie kommst du denn darauf? geschockt

.... MANN ! -> EIN QUADRAT IST IMMER POSITIV Tanzen

24.07.2013, 22:34

küb

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RE: Ungleichung - Bruch und Wurzel
Achso.. Als du meintest, dass man von einer wahren Aussage ausgeht, dachte ich, dass sie mir schon gegeben sein muss.. Ich kann also eine beliebige nehmen.. Okay smile

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