Konvergenz von Reihen (Majorantenkriterium/Minorantenkriterium) |
| 24.07.2013, 21:11 | Martin1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Konvergenz von Reihen (Majorantenkriterium/Minorantenkriterium) Bei den Vergleichskriterien habe ich etwas Probleme zu erkennen, ob den nun die vorgegebene Reihe divigiert oder konvergiert. Ich zeige euch das mal an paar Beispielen von Reihen. Die Folgenden Terme sollen Reihen darstellen: 1) (2k+2)/(k^{2} +1 ) 2) (4k)/(k^{2}+3) 3) (sin(n)+(cos(n))^2)/(n^2) 4) (2k+1)/(k^{2}(k+1)^2) Auf den ersten Blick würde ich bzgl. allen Reihen sagen das sie absolut Konvergent sind, da 1/k^2 eine Majorante ist. Und ich denke das ist sehr falsch. Wie kann ich am besten lernen abzuschätzen? Werte einsetzen? Ausklamern und kürzen lassen? .. Ich hab gar keine Ahnung wie ich solche Reihen untersuchen kann. |
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| 24.07.2013, 21:23 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Konvergenz von Reihen (Majorantenkriterium/Minorantenkriterium)
Ja, das ist sehr falsch. Bei solchen Ausdrücken der Form rationaler Funktionen bietet sich immer der Vergleich der Potenzen in Zähler und Nenner an. Wenn man dann das Konvergenzverhalten der allgemeinen harmonischen Reihe kennt, sieht man immer auf den ersten Blick, worauf es hinausläuft. Das betrifft hier 1), 2) und 4). Klammere doch in Zähler und Nenner mal jeweils die höchste im Zähler vorkommende Potenz von k aus und kürze. Dann siehst du, welche Terme den Ausschlag geben und kannst dann mit der harmonischen Reihe vergleichen. Eine korrekte Abschätzung braucht man dann noch, um es auch mathematisch hieb- und stichfest zu machen. Und auch 3) kann man schnell abfrühstücken. Hier kann man sich zunutze machen, dass sind und cos beschränkt sind, um eine passende Abschätzung zu finden. Das sieht komplizierter aus durch die sin und cos Terme, aber diese Terme sind an sich völlig bedeutungslos.
Üben! |
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| 24.07.2013, 21:35 | Martin1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Gut ich betrachte folgende Reihe und probier es einfach spontan aus: (4k)/(k^{2}+3)=(4)/(k+(3/k)) und diese ist größer als 1/k , deshalb divergent die Ausgangsreihe? |
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| 24.07.2013, 21:59 | Martin1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Bzgl. 4 steht doch im Betrag betrachtet etwa 2/k^2 oder?, da / sink+cos^2(k) / kleiner gleich 1 + 1 = 2 |
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| 24.07.2013, 22:35 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Jo, stimmt soweit. |
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| 24.07.2013, 22:49 | Martin1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Gut dann habe ich nun das abschätzen bzgl. Gebrochenrationalen Reihen verstanden. Was ist aber mit 3.? Wie gesagt ich komm auf 2/k^2. Ist das absolut Konvergent? Wenn ich diese mit 1/k^2 vergleiche kommt es mir vor das 2/k^2 größer ist für k gegen unendlich. |
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| 24.07.2013, 22:58 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn konvergiert, dann doch auch sicher Konstante Faktoren, wie groß sie auch sein mögen, haben überhaupt keinen Einfluss darauf, ob eine Reihe konvergiert oder nicht. Auch ist z.B. konvergent. Das sollte man sich auch unbedingt verinnerlichen, denn das gibt einem mehr Spielraum beim Abschätzen (was manchmal auch notwendig ist). |
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| 24.07.2013, 23:08 | Martin1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Super. Das hilft mir sehr. Ich habe vollkommen die konstante vergessen. Danke. Vielen, vielen dank! |
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