Spirale mit Sinusfunktionen "abfahren", durch Frequenz- und Amplitudenmodulation

25.07.2013, 12:07

Sternhagel

Spirale mit Sinusfunktionen "abfahren", durch Frequenz- und Amplitudenmodulation

Hallo,

die folgende Frage hat sich mehr aus einem Ingenieurs-Zusammenhang ergeben. Ich hoffe es ist verstänlich was ich meine... :-)

Zuerst ganz kurz die Frage so mathematisch wie möglich (bzw. wie ich es ausdrücken kann) und dann später noch die eventuel nötigen (technischen) Erklärungen:

Frage:
Kann ich den Verlauf einer Spirale auf einer Oberfläche mit zwei Sinusfunktionen beschreiben wenn ich deren Amplitude und Frequenz zeitlich verändere (auch "Frequency and Amplitude Sweep" genannt)? Wichtig ist dabei, dass die "Geschwindigkeit" mit der die Funktion "voranschreitet" gleich.

Einen Kreis bekomme ich bei zwei Sinusspannungen gleicher Amplitude und Frequenz bei einer Phasenverschiebung von 90°. Wenn ich davon ausgehend nun kontinuierlich die Amplitude verkleinere und gleichtzeitig die Frequenz vergrößere (damit die Geschwindikeit gleich bleibt), dann sollte das doch irgenwie möglich sein oder?

Hat jemand von euch eine Idee ob das so geht und wie ich die Veränderung der Amplitude und der Frequenz mit der Zeit bestimmen kann?

So hier nun noch die technischen Erklärungen:

Ich möchte mit einem Laserstrahl mit Hilfe eines 2D Scannersystem eine Spirale auf eine Oberfläche scannen/projizieren. Mit dem 2D Scanner kann ich alle Punkte innerhalb eine X-Y Quatrates anfahren. Die Auslenkung entlang einer Achse ist dabei proportional einer Spannung welche ich an den Scanner-Achsen anlege.

0 Volt heißt also keine Außlenkung und zum Beispiel 1 V bedeutet 2 cm auslenkung auf der Oberfläche. Wenn man sinus-Spannungen anlegt kann man damit zum Beispiel sogenannte Lissajous Figuren erzeugen (http://de.wikipedia.org/wiki/Lissajous-Figur).
Einen Kreis erhält man zum beispiel mit zwei Sinusspannungen gleicher Amplitude und Frequenz bei einer Phasenverschiebung von 90°.

Vielleicht fragt ihr euch warum ich nicht einfach in discreten Abständen Punkte der Spirale berechne und diese einfach nacheinander abfahren... das würde schon gehen, aber dann würde der Laserstrahl sich immer Sprunghaft von Punkt zu Punkt bewegen, und ich möchte aber eine kontinuierliche Bewegung haben und vor allem eine mit gleicher Geschwindigeit.

Ich frage mich nun ob es nicht möglich sein sollte eine Spirale auf die Oberfläche zu zeichnen, nur unter zuhilfenahme von Sinusfunktionen, wenn ich die Amplitude und die Frequenze Zeitlich ändere (genannt auch "Frequency und Amplitude Sweep").

Wäre sehr dankbar wenn ihr eine Idee hättet! :-)

25.07.2013, 13:53

Steffen Bühler

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RE: Spirale mit Sinusfunktionen "abfahren", durch Frequenze und Amplituden Modulation
Herzlich willkommen im Matheboard!

Eine Spirale bekommst Du zunächst in der Tat, wenn Du die Amplitude der beiden Sinusspannungen kontinuierlich verringerst. Die Frequenz könnte dabei gleichbleiben, beim Kreis ist's ja erst einmal auch egal, wie schnell er gezeichnet wird.

Du schreibst allerdings

Zitat:

Wichtig ist dabei, dass die "Geschwindigkeit" mit der die Funktion "voranschreitet" gleich.

Ich verstehe das so, dass die Geschwindigkeit des Laserpunktes auf der Oberfläche konstant bleiben soll. Ist das so? Dann allerdings sollte doch bei einem kleineren Radius die Geschwindigkeit (und somit die Frequenz) abnehmen, und zwar proportional: halber Radius, halbe Frequenz.

Du schreibst aber

Zitat:

Wenn ich davon ausgehend nun kontinuierlich die Amplitude verkleinere und gleichtzeitig die Frequenz vergrößere (damit die Geschwindikeit gleich bleibt), ...

Deswegen bin ich nicht ganz sicher, ob ich Dich richtig verstehe. Vielleicht kannst Du ja noch mal was dazu schreiben.

Viele Grüße
Steffen

26.07.2013, 13:30

Sternhagel

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RE: Spirale mit Sinusfunktionen "abfahren", durch Frequenze und Amplituden Modulation
Sorry für die Späte Antwort! Schön dass du denkst dass das grundsätzlich so möglich ist.

Das mit der Geschwindigkeit war genau so gemeint:

Ich verstehe das so, dass die Geschwindigkeit des Laserpunktes auf der Oberfläche konstant bleiben soll. Ist das so?

Das ist wichtig für unsere Anwendung damit der Laserstrahl einen konstanten thermischen Einfluss auf die Oberfläche hat.

Allerdings dachte ich die Proportionalität zwischen Frequenz und Amplitude ist genau anders herum....

Ich würde sagen, je größer die Amplitude ist, umso kleiner muss die Frequenz werden.

Die Geschwindigkeit v ist proportional zu s * f (s ist weg und f die Frequenz). Wenn nun die Amplitude größer wird muss im gleichen Maße die Frequenz kleiner werden um ein gleiches v zu erhalten.

Jetzt muss man nur noch irgendwie herausfinden wie man die Rate mit der man die Frequenz und die Amplitute ändert berechnen kann... da bin ich irgendwie etwas überfordert.

Hat da jemand vielleicht eine Idee wie man da ran gehen könnte?

Viele Grüße

26.07.2013, 14:08

Steffen Bühler

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RE: Spirale mit Sinusfunktionen "abfahren", durch Frequenze und Amplituden Modulation

Zitat:

Original von Sternhagel
Die Geschwindigkeit v ist proportional zu s * f (s ist weg und f die Frequenz). Wenn nun die Amplitude größer wird muss im gleichen Maße die Frequenz kleiner werden um ein gleiches v zu erhalten.

Stimmt, Du hast natürlich recht. War wohl die Hitze.

Zitat:

Original von Sternhagel
Jetzt muss man nur noch irgendwie herausfinden wie man die Rate mit der man die Frequenz und die Amplitute ändert berechnen kann.

Das kommt drauf an, wie die Spirale aussehen soll. Soll sie bei Null beginnen und dann mit dem Winkel linear anwachsen wie hier?

Dann muss die Amplitude einfach zeitlich linear ansteigen und die Frequenz nach deinem gezeigten Zusammenhang entsprechend abfallen. Der Laser muss diese Spirale ja immer wieder zeichnen, somit sollte die Amplitude am besten von einem Dreiecksignal gesteuert werden, dann zeichnet er sie zuerst von innen nach außen, dann wieder zurück.

Oder soll sie exponentiell anwachsen wie hier?

Dann wird die Amplitude über eine Exponentialfunktion gesteuert. Die ist technisch vielleicht nicht mehr so einfach hinzubekommen, die Spirale ist aber hübscher, finde ich.

Viele Grüße
SRteffen

26.07.2013, 14:38

HAL 9000

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Zitat:

Original von Steffen Bühler
Oder soll sie exponentiell anwachsen wie hier?

[...]

Dann wird die Amplitude über eine Exponentialfunktion gesteuert. Die ist technisch vielleicht nicht mehr so einfach hinzubekommen, die Spirale ist aber hübscher, finde ich.

Zudem ist hier die Frequenzabhängigkeit exakt angebbar. Bei der archimedischen Spirale ist das schon etwas komplizierter, zumindest wenn man das ganze exakt haben will und nicht nur per Näherung.

26.07.2013, 15:15

Sternhagel

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Es sollte eine archimedische Spirale werden, also der Abstand zwischen den Linien soll gleich bleiben.... wie wenn man einen Teppich aufrollt, um mal Wikipedia zu zitieren smile

Aber wenn ich Hall 9000 recht verstehe, ist die Frequenzabhängigkeit dann nicht so einfach alanytisch zu beschreiben, richtig?

26.07.2013, 15:23

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von Sternhagel
Aber wenn ich Hall 9000 recht verstehe, ist die Frequenzabhängigkeit dann nicht so einfach alanytisch zu beschreiben, richtig?

Du wirst bei Amplitude Null halt Schwierigkeiten bekommen. Augenzwinkern

Aber ansonsten sollte es eigentlich nicht so schwer sein. Die Amplitude läuft periodisch meinetwegen zwischen 1 und 2. Hier eine Periode:

Und die Frequenz ist dann der Kehrwert davon:

Viele Grüße
Steffen

26.07.2013, 15:34

HAL 9000

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Hmm, ich geb mal meine Überlegungen und Rechnungen zur archimedische Spirale an, die mich zu der obigen Einschätzung gebracht haben: Ausgangspunkt ist die folgende parametrische Darstellung mit Zeitparameter $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} x(t) = Ag(t)\cos(g(t)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y(t) = Ag(t)\sin(g(t)) \end{eqnarray*}$ .

Über $\begin{eqnarray*} g(t) \end{eqnarray*}$ mit Anfangswert $\begin{eqnarray*} g(0)=0 \end{eqnarray*}$ will man nun das ganze so steuern, dass die Geschwindigkeit $\begin{eqnarray*} \sqrt{\dot{x}^2+\dot{y}^2} \end{eqnarray*}$ konstant ist - so habe ich das mit dem Laser verstanden. Mit

$\begin{eqnarray*} \dot{x}(t) = A\dot{g}\cos(g(t))-Ag\sin(g(t))\dot{g} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \dot{y}(t) = A\dot{g}\sin(g(t))+Ag\cos(g(t))\dot{g} \end{eqnarray*}$

folgt dann

$\begin{eqnarray*} \dot{x}^2+\dot{y}^2 = A^2\dot{g}^2(1 + g^2) = \mbox{const} \end{eqnarray*}$ ,

also mit einer Konstanten $\begin{eqnarray*} \omega>0 \end{eqnarray*}$ dann

$\begin{eqnarray*} 2\sqrt{1+g^2}\dot{g} = \omega \end{eqnarray*}$ mit Anfangswert $\begin{eqnarray*} g(0)=0 \end{eqnarray*}$ .

Dieses AWP hat die leider nur implizit darstellbare Lösung

$\begin{eqnarray*} \operatorname{arsinh}(g) + g\sqrt{1+g^2} = \omega t \qquad (*) \end{eqnarray*}$ ,

d.h. ein explizit angebbares $\begin{eqnarray*} g = g(t) \end{eqnarray*}$ dürfte schwierig werden. verwirrt

Für größere $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ -Werte (d.h. nach einigen Spiraldrehungen) ist dann vermutlich der erste Summand vernachlässigbar, und im zweiten gilt näherungsweise $\begin{eqnarray*} \sqrt{1+g^2} \approx g \end{eqnarray*}$ , es folgt dann

$\begin{eqnarray*} g(t) \approx \sqrt{\omega t} \end{eqnarray*}$ .

Für ganz kleine $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ -Werte hingegen, d.h. unmittelbar nach dem Start $\begin{eqnarray*} t=0 \end{eqnarray*}$ gilt eher die Näherung

$\begin{eqnarray*} g(t) \approx \frac{1}{2} \omega t \end{eqnarray*}$ ,

was ebenfalls aus (*) ersichtlich ist.

26.07.2013, 15:47

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{eqnarray*} x(t) = Ag(t)\cos(g(t)) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y(t) = Ag(t)\sin(g(t)) \end{eqnarray*}$

Nein, die Frequenz sollte doch reziprok zur Amplitude sein:

$\begin{eqnarray*} x(t) = Ag(t)\cos(\frac 1 {g(t)}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y(t) = Ag(t)\sin(\frac 1 {g(t)}) \end{eqnarray*}$

Ich würde außerdem noch die Zeit t in die cos- und sin-Argumente packen:

$\begin{eqnarray*} x(t) = Ag(t)\cos(\frac 1 {g(t)} \cdot t) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y(t) = Ag(t)\sin(\frac 1 {g(t)} \cdot t) \end{eqnarray*}$

Technisch sollte es meines Erachtens funktionieren, wenn die von mir gezeigten Spannungen auf x- und y-Ablenkung gelangen. Wobei ich ohnehin erst einmal ohne Frequenzmodulation arbeiten würde, dann wird die Spirallinie außen halt etwas dunkler erscheinen.

Viele Grüße
Steffen

26.07.2013, 15:49

HAL 9000

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Zitat:

Original von Steffen Bühler
$\begin{eqnarray*} x(t) = Ag(t)\cos(\frac 1 {g(t)}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y(t) = Ag(t)\sin(\frac 1 {g(t)}) \end{eqnarray*}$

In dem Fall reden wir also nicht über eine archimedische Spirale - da hab mich durch dein obiges (in dem Fall unpassendes) Bild auf die falsche Spur führen lassen. Ok, dann bin ich wieder raus.

26.07.2013, 15:52

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von HAL 9000
In dem Fall reden wir also nicht über eine archimedische Spirale

Doch, wenn g(t) eine Dreiecksschwingung ist. Die Amplitude steigt linear mit dem Winkel. Oder habe ich jetzt einen Denkfehler?

Zitat:

Original von HAL 9000
Ok, dann bin ich wieder raus.

Bleib ruhig.

Viele Grüße
Steffen

26.07.2013, 15:54

HAL 9000

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$\begin{eqnarray*} x(t) = Ag(t)\cos(\frac 1 {g(t)}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y(t) = Ag(t)\sin(\frac 1 {g(t)}) \end{eqnarray*}$

ist definitiv keine archimedische Spirale - plotte das doch mal.

26.07.2013, 16:40

Steffen Bühler

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In der Tat, hab's kapiert. Die Amplitude kann ja jetzt nicht mehr proportional zum Winkel sein, weil in dem wiederum bereits der Kehrwert der Amplitude als Frequenzfaktor steckt. Ein Teufelskreis.

Ich fürchte, es bleibt tatsächlich nur Dein Ansatz.

Viele Grüße
Steffen

26.07.2013, 22:57

Sternhagel

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Oh je, das ist wohl kniffliger als gehofft.... Das muss ich mir über das Wochenende nochmal durch den Kopf gehen lassen :-)

Nochmal ein paar technische Erläuterungen zu einem Komentar von vorhin:

Zitat:

Wobei ich ohnehin erst einmal ohne Frequenzmodulation arbeiten würde, dann wird die Spirallinie außen halt etwas dunkler erscheinen.

Unsere Anwendung ist leider recht kritisch bezüglich der Scangeschwindigkeit.... zwei technische Details habe ich noch nicht erwähnt.
1. Der Laser ist gepulst mit 1000 Hz (Repetition Rate = 1000 Hz), das heißt dass alle 1 ms ein Puls kommt. Wenn man nun irgendeine Linie scannt, dann muss man die Scanngeschwindigkeit des 2D Scanners genau so einstellen, dass die aufeinanderfolgenden Pulse auf der Oberfläche genau nebeneinander liegen. Wenn man zu schnell scannt, dann sind die Pulse zu weit auseinander und man hat keine durchgehende Linie mehr.

2. Langsam scannen (und einen gewissen Überlapp der Pulse akzeptieren) geht leider auch nicht, weil die Oberfläche kein Metall oder soetwas ist, sondern Gewebe. Und das reagiert sehr sensibel auf thermische Einwirkungen und daher möchte man eben auch nicht zu viel Überlapp der Pulse.

Die Scangeschwindigkeit allgemein ergibt sich daher aus v=d*Rep-Rate, wobei d der Pulsdurchmesser auf der Oberfläche ist und Rep-Rate die Pulserate des Lasers.

Der Grund warum ich überhaupt so eine Spirale scannen möchte ist eigentlich folgender:
Ich möchte eine kreisförmige FLÄCHE mit diesem 2D Scanner abscannen. Das Problem ist nun, dass ich irgendwie eine Scannline finden muss, welche

1. Über jede Stelle der kreisförmigen Fläche nur einmal drüber fährt (man möchte ja einen gleichmäßigen Abtrag haben)

und

2. mit "Standart" Spannungen erstellbar ist... also ich kann zum Beispiel Sinus Spannungen, Zig-Zag-Spannungen und Rechteck-Spannungen anlegen. Und es gibt eben auch die Option Frequency- und Amplitude Sweep.

Für den Fall, dass jemand nun sich fragt warum ich nicht einfach die Koordinaten aller Puls-Auftreffpunkte berechne und dann diese einzeln anfahre, entweder Spiral-förmig oder wie auch immer.
Ja so machen wir das bissher sogar... in der Theorie ist das auch kein Problem, aber für den Scanner ist es nicht so einfach zu realisieren.
Wie erwähnt, jede 1 ms kommt ein Puls und bis der nächste Puls 1 ms später kommt muss der Scanner zum nächsten Auftreffpunkt beschleunigt und auch wieder abgebremst haben... bis 500 Hz ging das noch so einigermaßen, aber bei 1 Khz macht der Scanner nun schlapp... so schnell ist er leider nicht :-)

Darum müssen wir bei so hochen Repetition Rates nun versuchen alles mit kontinuierlien Spannungsverläufen (also Sinus, Rechteck, oder Zig-Zack) zu realisieren.

Tja... ganz schön kniffelig nun.... :-)

Wenn jemand eine Idee hat wie man ein kreisförmige Oberfläche mit Standartfunktionen abfahren könnte, ich wäre sehr interessiert daran smile

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