Reihe Konvergenz

25.07.2013, 12:28

erdbeerjele

Reihe Konvergenz

Meine Frage:
Ich möchte die folgende Reihe auf Konvergenz untersuchen:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k^{\sqrt{k}} } \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich habe es schon mit dem Wurzel- und dem Quotientenkriterium versucht, komme aber irgendwie nie auf irgendwas.

25.07.2013, 12:30

yoyooyooyoyo

Auf diesen Beitrag antworten »

Probier es mal mit dem Majo.-Minorantenkrit.

25.07.2013, 12:40

erdbeerjele

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das hab ich auch schomal so angedacht, also ich weiß ja, dass $\begin{eqnarray*} k \geq \sqrt{k} \end{eqnarray*}$ und somit ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k^{\sqrt{k}}} \leq \frac{1}{k^{k}}\leq \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ divergiert, somit hab ich eine divergente Majorante gefunden. Reicht das so?

25.07.2013, 12:53

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von erdbeerjele
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{k^{\sqrt{k}}} \leq \frac{1}{k^{k}} \end{eqnarray*}$

Der Teil ist leider falsch. Und divergente Majoranten sind ja auch nicht gerade sehr informativ...

Probier einfach mal eine Exponentenabschätzung durch eine Konstante nur für $\begin{eqnarray*} k\geq 4 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{k^{\sqrt{k}}} \leq \frac{1}{k^{\sqrt{4}}} = \frac{1}{k^2} \end{eqnarray*}$

25.07.2013, 13:12

yoyooyoyoo

Auf diesen Beitrag antworten »

Vorab, da du die Vergleichskriterien etwas durcheinander bringst. Mit einer Minorante kannst du nur die divergenz zeigen und mit einer Majorante analog nur die (absolue) konvergenz. Also bringt dir eine divergente Majorante nichts!

25.07.2013, 13:20

erdbeerjele

Auf diesen Beitrag antworten »

darf ich das mit dieser Exponentenabschätzung denn einfach so machen? Das andere k wäre dann ja auch 4.

25.07.2013, 13:34

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von erdbeerjele
darf ich das mit dieser Exponentenabschätzung denn einfach so machen? Das andere k wäre dann ja auch 4.

Ich habe nicht gesagt, dass ich für $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ generell den Wert 4 einsetze. unglücklich

Sondern dass ich für $\begin{eqnarray*} k\geq 4 \end{eqnarray*}$ den Exponenten geeignet abschätze! Und es ist nun mal so, dass für reelle Zahlen $\begin{eqnarray*} x\geq 1 \end{eqnarray*}$ sowie reelle Exponenten $\begin{eqnarray*} a\leq b \end{eqnarray*}$ dann $\begin{eqnarray*} x^a \leq x^b \end{eqnarray*}$ gilt.

25.07.2013, 13:34

yoyooyoyoo

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von erdbeerjele
darf ich das mit dieser Exponentenabschätzung denn einfach so machen? Das andere k wäre dann ja auch 4.

Weisst du für welches z die Reihe 1/(k^z) konvergiert?

25.07.2013, 13:37

erdbeerjele

Auf diesen Beitrag antworten »

Für z>1 würd ich sagen.

25.07.2013, 15:35

erdbeerjele

Auf diesen Beitrag antworten »

Aber was heißt das jetzt für die Konvergenz der Reihe? also es gilt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k^{\sqrt{k}}} \end{eqnarray*}$ konvergiert dann ja auch für k>1 (glaub ich), da die wurzel aus k wieder >1 ist für k>1.

25.07.2013, 16:14

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von erdbeerjele
Aber was heißt das jetzt für die Konvergenz der Reihe? also es gilt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{k^{\sqrt{k}}} \end{eqnarray*}$ konvergiert dann ja auch für k>1

Zur Sprachregelung: Eine Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} a_k \end{eqnarray*}$ konvergiert oder sie divergiert (in Gänze). Zu sagen, sie "konvergiert für k>..." macht keinerlei Sinn.

----------------------------

Die ersten endlich vielen Glieder einer Reihe spielen keine Rolle für die bloße Frage nach Konvergenz/Divergenz, mach dir da also mal keine Sorgen. Es reicht hier z.B. per Majorante die Reihe ab Index 4 abzuschätzen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=4}^{\infty} \frac{1}{k^{\sqrt{k}}} \leq \sum_{k=4}^{\infty} \frac{1}{k^2} \end{eqnarray*}$ .

25.07.2013, 17:28

erdbeerjele

Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, das hilft mir sehr! Dankeschön!

Neue Frage »

Antworten »

Reihe Konvergenz

Verwandte Themen