Anzahl affiner Ebenen in einem 3-dimensionalen affinen Raum über F5 |
| 25.07.2013, 13:27 | Spikey111 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Anzahl affiner Ebenen in einem 3-dimensionalen affinen Raum über F5 Hallo, ich beschäftige mich im Moment mir der Frage, wie viele affine Ebenen ein dreidimensionaler affiner Raum über F5 enthält. Generell würde mich interessieren, ob es dafür eine Formel gibt, so dass man die Anzahl affiner Ebenen fpr jede Dimension bzw. jeden endlichen Körper ausrechnen kann. Meine Ideen: Wir haben bereits die Anzahl der affinen Ebenen für einen 4-dimensionalen Raum über F3 ausgerechnet. Ich wollte bei dieser Aufgabe analog vorgehen, allerdings hatten wir bei der vorherigen Aufgabe ausgenutzt, dass eine Gerade im F3 immer aus genau 3 Punten besteht. Kann ich analog für den F5 annehmen, dass eine Gerade immer aus 5 Punkten besteht? Oder kann sie auch aus weniger Punkten bestehen? Hier ist mein Ansatz: Ein 3-dim'l Raum über F5 hat 5^3 = 125 Elemente. Aus diesen 125 Elementen müssen 3 affin unabhängige Punkte ausgewählt werden, da eine affine Ebene von drei affin unabhängigen Punkten aufgespannt wird. Für die ersten beiden Punkte hat man die freie Wahl ->Es gibt 125 über 2 Möglichkeiten. Und an der Stelle komme ich nicht weiter, da wir in der Übung benutzt haben, dass eine Gerade in F3 aus genau 3 affin unabh. Punkten besteht. Die Möglichkeiten für den dritten Punkt multipliziere ich mit dem Binomialkoeffizienten. Anschließend muss ich die Ebenen, die mehrfach gezählt wurden, wieder heraus dividieren. Dazu überlege ich, dass es 5^2=25 Punkte in der Ebene über F5 gibt. Aus diesen 25 Punkten kann ich wieder 2 beliebige wählen -> es gibt 25 über 2 Möglichkeiten. Den Binomialkoeffizienten multipliziere ich wieder mit der Anzahl der verbleibenden Möglichkeiten, 3 affin unabh. Punkte aus der Ebene zu wählen. Insgesamt gibt es dann Möglichkeiten. Ich wäre euch wirklich sehr dankbar, wenn ihr mir weiterhelfen könntet! Danke 
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