Monotonie

25.07.2013, 13:40

Tharion

Monotonie

Hallo,

ich habe die SuFu benutzt, aber nichts passendes speziell zu meiner Frage gefunden. Deswegen stelle ich sie jetzt hier.

ich habe die Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x) = x + \frac{1}{3} + \frac {x^3}{3} - x^2 \end{eqnarray*}$ auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} [\frac{1}{2},1] \end{eqnarray*}$

mit der Ableitung

$\begin{eqnarray*} f'(x) = 1+ x^2 - 2x \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun zeigen will, das f(x) streng monoton steigend ist, brauch ich sie ja nur ableiten (wie schon gesehen) und zeigen, das f'(x) nicht negativ wird.
Da es aber einen negativen Summanden (2x) gibt, kann ich ja zeigen, das dieser stets kleiner oder gleich als der Rest der Funktion ist.

Also die beiden Summanden nach oben abschätzen

$\begin{eqnarray*} 1+x^2 \leq 1 + 1 = 2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x \leq 2 \end{eqnarray*}$

und nun sie nach unten abschätzen

$\begin{eqnarray*} 1+x^2 \geq 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 2x \geq 1 \end{eqnarray*}$

Da nun $\begin{eqnarray*} 2x \end{eqnarray*}$ nie größer als $\begin{eqnarray*} 1+x^2 \end{eqnarray*}$ werden kann, müsste doch die streng monotone Steigung von f(x) gezeigt sein, da die Ableitung f'(x) nie einen negativen Anstieg produziert?

Vielen, vielen Dank wenn ihr bis hier her gelesen habt. Mit Zunge

25.07.2013, 13:58

bijektion

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Hallo,

für diese Aufgabe ist deine Lösung viel zu kompliziert.

Berechne doch die Nullstellen von f'. Liegen diese im zu untersuchenden Intervall ist zumindest schonmal die strenge Monotonie widerlegt.
Wenn f' keine Nullstellen im Intervall hat, berechnest du einen Funktionswert (z.B. f'(1/2)) und hast schon die Lösung. smile

25.07.2013, 14:18

Iorek

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Zitat:

Original von bijektion
Hallo,

für diese Aufgabe ist deine Lösung viel zu kompliziert.

Berechne doch die Nullstellen von f'. Liegen diese im zu untersuchenden Intervall ist zumindest schonmal die strenge Monotonie widerlegt.

Das ist so nicht richtig. $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R\rightarrow\mathbb R,x\mapsto x^3 \end{eqnarray*}$ ist streng monoton steigend, obwohl die Ableitung $\begin{eqnarray*} f':\mathbb R\rightarrow\mathbb R,x\mapsto3x^2 \end{eqnarray*}$ eine Nullstelle hat.

25.07.2013, 20:55

Tharion

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Zitat:

Hallo, für diese Aufgabe ist deine Lösung viel zu kompliziert.

Stimmt denn meine Lösung wenigstens?

Denn wenn die beiden Summanden nach oben und unten abgeschätzt auf streng monoton steigend schließen lassen, dann muss es ja so sein, oder? Denn die jweiligen Summanden haben ja ihre eigene Steigungsgeschwindigkeit, die sich ja nicht ändert. Sie ist ja linear, oder irre ich mich hier?

In der Klausur habe ich keinen Taschenrechner und auch vielleicht keine Möglichkeit um Nullstellen zu berechnen, den das geht bei Wurzelfunktionen dritten oder vierten Grades ohne Elektronik nicht.

Denn wenn ich die Möglichkeit habe, eine (negative) streng montone Steigung nachzuweisen, kann ich darüber die Selbstabbildungseigenschaft einer Funtkion beweisen, indem ich die Randpunkte und das Fehlen eventueller Extrema betrachte.

27.07.2013, 13:23

ullim

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Hi,

es gilt ja $\begin{eqnarray*} f'(x)=(x-1)^{2} \end{eqnarray*}$ . Damit ist die strenge monotonie auf dem Intervall $\begin{eqnarray*} \left[ \frac{1}{2}-1\right) \end{eqnarray*}$ schon bewiesen. Jetzt geht es nur noch um den Punkt x=1. Da setze doch in f(x) für $\begin{eqnarray*} x=1- \epsilon \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \epsilon>0 \end{eqnarray*}$ ein und vergleiche mit f(1).

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