Dimension/Basis Unterraum

25.07.2013, 15:07	Fero90	Auf diesen Beitrag antworten »
Dimension/Basis Unterraum Moin ich hoffe ich bin hier im richtigen Bereich und das mir jemand helfen kann. Meine Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} V\subseteq \mathbb R^{4} \end{eqnarray}$ der durch $\begin{eqnarray} V:=\left\{ (x,y,z,t)\| x+y+z-t=0\right\} \end{eqnarray}$ definierte Unterraum. 1. Was ist die Dimension des Unterraums? 2. Gebe eine Basis von V an. Meine Idee: 1. Ich überführ das ganze in eine Matrix D, es folgt: ( 1 1 1 -1 ) (x) ( 0 0 0 0 ) (y) ( 0 0 0 0 ) (z) ( 0 0 0 0 ) (t) Also ein Homogenes Lineares Gleichungssystem mit Dx=0. Hier kann ich doch ablesen, das das Bild die Dimension 1 hat und der Vektorraum die Dimension 4 hat. Mithilfe Dimensionssatz folgt: dim(v)=dim(Bild)+Dim(Kern) Ist äquivalent zu dim(kern)=dim(v)-dim(Bild)=4-1=3. Deshalb bin ich der Meinung das hier nach der Dimension des Kernes gefragt wird und diese somit 3 ist. Ist das richtig ?
25.07.2013, 15:24	Fero90	Auf diesen Beitrag antworten »
Desweiteren hatte ich vergessen hinzufügen, dass der Kern der Untervektorraum von V ist, deshalb vermute ich das hier einfach nur nach der Dimension vom Kern gefragt ist. Ich zumindest bin mir bei der Argumentation etwas unsicher.
25.07.2013, 19:56	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist im Prinzip richtig. Wenn du bei der Argumentation ein bisschen präziser werden möchtest, kannst du folgendes schreiben(das ist aber ein wenig Geschmackssache, man kann auch weniger schreiben, je weiter man selbst im Verständnis ist, weil dann erwartet werden kann, dass derjenige auch weiß, wovon er spricht und nur Dinge weglässt, die er beherrscht): Sei $\begin{eqnarray} A := \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\in M(4, \mathbb R) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} L_A:\mathbb R^4 \to \mathbb R^4, v\mapsto Av \end{eqnarray}$ die zu $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ assoziierte lineare Abbildung. Es gilt $\begin{eqnarray} V:=\left\{ (x,y,z,t)\| x+y+z-t=0\right\} = \{v\in\mathbb R^4 \| Av = 0\} = \{v\in\mathbb R^4 \| L_A(v) = 0\} = ker(L_A) \end{eqnarray}$ . Da wir $\begin{eqnarray} dim(Bild(L_A)) = 1 \end{eqnarray}$ direkt ablesen können, folgt $\begin{eqnarray} dim(V) = dim(ker(L_A)) = dim(\mathbb R^4)-dim(Bild(L_A)) = 4-1 = 3 \end{eqnarray}$ Ich habe das jetzt sehr ausführlich gemacht, mit allem, was man irgendwie erwähnen können wollte. Das ist halt was hinter steckt. Du musst das wahrscheinlich nicht so ausführlich machen, ich habe dir das jetzt mal als Referenz gegeben und du kannst dir raussuchen, was du davon sinnvoll hälst.

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