Standardbasis

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25.07.2013, 17:36	kovolt	Auf diesen Beitrag antworten »
Standardbasis Hallo, kann mir bitte jmd sagen, was die Standardbasen sind? Sind das die Einheitsvektoren oder was ist damit gemeint? Und was heißt, dass ein Vektor bzgl. einer Standardbasis gegeben ist?? Wäre super, wenn ihr kurz helfen könntet.
25.07.2013, 17:49	yoyooyoyoyo	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Standardbasis E_n ist definiert durch die Menge {(1,0,0,.....,0),(0,1,0,......,0),.......(0,0,0,.....,1)}={e1,e2,....,e_n} Der Einheitsvektor ist ein Vektor mit der Länge 1. Die Standardbasis wird mithilfe von Einheitsvektoren aufgespannt. Meinst du wirklich einen Vektor bzgl. Standardbasis ? Das ist nicht so ganz richtig. Es sollte immer angegeben werden um welche Standardbasis E_n (Dimension) es sich den handelt. Ansonsten wäre dann z.b. der Vektor (a,b,c) bzgl. der Standardbasis E_3 wie folgt definiert: xe1+ye2+ze3=(a,b,c) Die Koordinaten dieses Vektors sind die Parameter x,y und z die du leicht berechnen kannst.
25.07.2013, 18:46	kovolt	Auf diesen Beitrag antworten »
also hier steht: Dabei sind die Vektoren v1,..., v4 und w1,..., w4 bezüglich der Standardbasis gegeben. v1,..., v4 bilden eine Basis und w1,..., w4 eine andere Basis. Was bedeutet das jetzt?
26.07.2013, 08:31	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Was eine Standardbasis ist, hat yoyo schon erklärt. Ansonsten ist es immer schwierig, einen aus einem Zusammenhang rausgerissenen Satz zu kommentieren.
26.07.2013, 09:28	yooyooyoyoo	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich hatte es bereits erklärt: "Ansonsten wäre dann z.b. der Vektor (a,b,c) bzgl. der Standardbasis E_3 wie folgt definiert: xe1+ye2+ze3=(a,b,c),, Dabei gilt x=a y=b z=c
27.07.2013, 23:30	Annika15	Auf diesen Beitrag antworten »
"Dabei sind die Vektoren $\begin{eqnarray} v_1, ... , v_4 \end{eqnarray}$ [...] bezüglich der Standardbasis gegeben." Das bedeutet, dass die Vektoren $\begin{eqnarray} v_1, ... , v_4 \end{eqnarray}$ als Linearkombination bzgl. der Standartbasis dargestellt sind. Also: $\begin{eqnarray} v_i = a_1e_1+...+a_ne_n \end{eqnarray}$ wo $\begin{eqnarray} i = 1,2,3,4 \end{eqnarray}$ und n die Dimension des zugrundeliegenden Vektorraums. n ist dann die Kardinalität deiner Standartbasis. Die Standartbasis für $\begin{eqnarray} K^n \end{eqnarray}$ ist ja schon erklärt worden. "v1,..., v4 bilden eine Basis und w1,..., w4 eine andere Basis" Eine Basis ist ja ein minimales Erzeugendensystem(im speziellen sind alle $\begin{eqnarray} v_i \end{eqnarray}$ und alle $\begin{eqnarray} w_i \end{eqnarray}$ jeweils untereinander linear unabhängig). Dieses Erzeugendensystem besteht im endlichen Falle aus n Elementen ( hier wären es jeweils 4 ). Ich denke der Schlüssel um das zu verstehen ist die Eigenschaft, dass Basen nicht eindeutig sind, es bzgw keine ausgezeichnete Basis gibt. Ist dir dies klar? Man kann hier davon ausgehen, dass die Elemente $\begin{eqnarray} v_1, ... , v_4 und w_1, ... , w_4 \end{eqnarray}$ aus dem selben Vektorraum stammen, da sie hier von der selben Basis (der Standartbasis) erzeugt werden. In diesem Fall erzeugen die beiden Basen bis auf Koordinatentransformation den selben Vektorraum (oder was wir ja nicht wissen vielleicht einen einen Unterraum). Vielleicht hilft dir folgende PDF: http://www-lm.ma.tum.de/archiv/ws023/la1...ueber_Basen.pdf
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27.07.2013, 23:57	yahuu14	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit den a_n Körper der Linearkombination meinst du die einzelnen Elemente des Vektors, welcher bezüglich der Standardbasis gegeben sind oder?
28.07.2013, 00:07	Annika15	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß nicht was du das mit" $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ Körper" meinst? Meinst du den Inhalt der PDF? Die ist nicht von mir sondern von Google
28.07.2013, 01:25	yahuu14	Auf diesen Beitrag antworten »
a_n sind doch Körper? Bzw. Skalare wenn man es so sagen will. Und die skalare a_n was sind die? Das sind doch genau die Elemente vom Vektor bezüglich der Standardbasis. Kannst ja mal die Linearkombination zusammenfassen mit den Elementen des Vektors der bezüglich der Standardbasis gegeben ist. Aber ich glaube du hast das bereits selbst gepostet, wobei ich deine Beschreibung etwas unsicher fand.
28.07.2013, 02:01	Annika15	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, $\begin{eqnarray} a_n \end{eqnarray}$ sind Skalare, aber keine Körper! Skalare sind in diesem Zusammenhang Elemente eines (zugrundeliegenden)Körpers. Wenn wir jetzt aber über Basen, Linearkombinationen,Dimension usw. sprechen, dann reden wir über Vektorräume. (Zwar ist jeder Körper ein Vektorraum über sich selber, aber darum gehts hier ja nicht.) Einen Vektorraum betrachtet man immer über einem Körper - dieser liegt dem Vektorraum zugrunde und die oben genannten Skalare kommen aus diesem Körper. Zur Übersicht: Ein Körper ist eine Menge mit zwei inneren Verknüpfungen die gewisse Bedingen erfüllen. Ein Vektorraum ist eine Menge die eine innere und eine äußere Verknüpfung besitzt. Die äußere Verknüpfung ist Verknüpfung eines Vektors des Vektorraumes mit einem Skalar aus dem Körper. Diese Verknüpfungen erfüllen wieder gewisse Bedingungen. Wichtig: Die Verknüpfung eines Skalars mit einem Vektor ist nicht das gleiche wie das Skalarprodukt. Und naja, die Menge aller Linearkombinationen der Vektoren einer Basis(meinetwegen der Standartbasis dieses Raumes, oder jeder beliebigen wie eben schon beschrieben), wie du vorgeschlagen hast, gibt dir dann ja den Vektorraum. Schau dir doch nochmal die Definitionen der Begriffe Lineare Hülle, minimales Erzeugendensystem, Vektorraum und schauen was du da konkret nicht verstehst. Gruß zur späten Stunde
28.07.2013, 02:28	Annika15	Auf diesen Beitrag antworten »
Mal ein gundlegendes Beispiel: Wir betrachten den $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ . Also den Standartvektorraum aller Spaltenvektoren mit 3 reellen Komponenten. Diese Komponenten kommen aus $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ und sind ja eigentlich auch Skalare, werden aber meines Wissens nach in der Regel als Einträge oder Komponenten bezeichnet. Aus dieser Festsetzung können wir bereits schließen was die Dimension unseres $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ ist. 3 nämlich. Damit wissen wir, dass unsere Basis 3 Elemente enthält, oder anders ausgedrückt, dass der gesamte $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ von 3 linear unabhängigen Vektoren des $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ erzeugt wird. (#Näheres dazu im Thema Minimales Erzeugendensystem, Lineare Hülle#) Clou No1.: Es ist egal welche 3 Vektoren wir bestimmen. Solange diese linear unabhängig zueinander sind erzeugen sie den gesamten $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ . Haben wir in einem ungünstigen Fall nur 2 Vektoren die zueinander linear unabhängig sind, so lässt sich in jedem Fall ein 3. zu den beiden ersten linear unabhängen Vektor finden. Eine mögliche Basis ist: $\begin{eqnarray} \\ x=\begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}, y=\begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix}, z=\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix}\\ \end{eqnarray}$ Eine weitere schicke Basis ist die Standartbasis: $\begin{eqnarray} \\ e_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, e_2=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, e_3=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\\ \end{eqnarray}$ (Statt $\begin{eqnarray} e_i \end{eqnarray}$ hätte man natürlich auch wieder x,y,z schreiben können) Diese beiden Basen erzeugen nun den $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ . Da es erstmal egal ist welche man wählt sagt man auch, dass es keine ausgezeichnete Basis gibt. Die eine tuts wie die andere. Wobei die Standartbasis schöner ist, was heißt, dass man leichter mit ihr rechnen kann. Manchmal kommt man allerdings nicht um andere Basen herum. Nun komme ich nochmal auf den Begriff der Linearkombination zurück. Nehmen wir uns nun mal einen Vektor aus dem $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ . Ich finde , dass $\begin{eqnarray} \\ a=\begin{pmatrix} -1 \\ \pi \\ 0 \end{pmatrix}\\ \end{eqnarray}$ ein schöner Vektor ist. Der Einfachheit halber möchte ich diesen nun als Linearkombination zur Standartbasis darstellen: $\begin{eqnarray} \\ \begin{pmatrix} -1 \\ \pi \\ 0 \end{pmatrix} = -1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \pi * \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + 0 * \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\\ \end{eqnarray}$ Clou No2.: Die Zahlen die ich hier multiplikativ mit in die Summe meiner Standartvektoren eingebaut habe nennt man nun (und auch schon vorher )Skalare. Die kommen aus meinem, dem Vektorraum zugrunde liegenden Körper $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ . Ach ja, ich meine übrigends, dass der Beriff "Standartbasen" nur in Standartvektorräumen benutzt wird. Da kann ich mich aber auch täuschen, vielleicht weiß das ja jemand. Es gibt ja jede Menge schöne Vektorräume...

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