Verschoben! Polynomring in n Variablen regulär (Alg. Geom.)

25.07.2013, 18:21

Kurvenliebhaber

Polynomring in n Variablen regulär (Alg. Geom.)

Halllo,

ich lerne gerade Algebraische Geometrie und habe mir folgenden Beweis selbst überlegt und bin nicht sicher, ob er "wasserdicht" ist. Im Prinzip ist der Beweis "straight forward", daher bin ich unsicher, ob ich was übersehen habe. Was sagt ihr dazu?

Ich möchte zeigen, dass der Polynomring $\begin{eqnarray*} S:= K[x_1,...,x_n] \end{eqnarray*}$ in n Variablen regulär ist. Wobei $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ ein algebraisch abgeschlossener Körper ist.

Beweis: Wir zeigen, dass jede Lokalisierung $\begin{eqnarray*} S_\mathfrak{p} \end{eqnarray*}$ nach einem Primideal $\begin{eqnarray*} \mathfrak{p} \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ ein lokaler regulärer Ring ist. Konkret heißt das: Das maximale Ideal jeder Lokalisierung hat ein minimales Erzeugendensystem mit $\begin{eqnarray*} \dim S_\mathfrak{p} \end{eqnarray*}$ Elementen.

Die Primideale von $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ sind: $\begin{eqnarray*} Spec(S) = \{(0)\} \cup \{(x_1-\alpha_1)\} \cup \{(x_2-\alpha_2)\}\cup ... \cup \{(x_n-\alpha_n)\} \cup \{(x_1-\alpha_1, x_2 - \alpha_2)\} \cup \{(x_1-\alpha_1, x_3 - \alpha_3)\} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \cup ... \cup \{(x_{n-1}-\alpha_{n-1}, x_n - \alpha_n)\} \cup ... \cup \{(x_1-\alpha_1, x_2-\alpha_2, ... , x_n-\alpha_n)\} \end{eqnarray*}$

In Worten: das Spektrum ist die Menge der Ideale, erzeugt von 0, 1, 2, ... n Elementen der Form $\begin{eqnarray*} x_i - \alpha_i \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \alpha_i \in K \end{eqnarray*}$ (weil K algebraisch abgeschlossen zerfällt jedes Polynom in Linearfaktoren und als faktorieller Ring sind irreduzible Elemente in $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ prim).

Betrachte nun die Lokalisierung $\begin{eqnarray*} S_\mathfrak{p} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \mathfrak{p} \in Spec(S) \end{eqnarray*}$ : Per Definition der Höhe ist $\begin{eqnarray*} \dim S_\mathfrak{p} = ht(\mathfrak{p}) \end{eqnarray*}$ Es genügt also zu zeigen, dass das maximale Ideal der Lokalisierung - nämlich das Bild von $\begin{eqnarray*} \mathfrak{p} \end{eqnarray*}$ unter der kanonischen Inklusion $\begin{eqnarray*} i: S \to S_\mathfrak{p} \end{eqnarray*}$ - von $\begin{eqnarray*} ht(\mathfrak{p}) \end{eqnarray*}$ vielen Elementen erzeugt wird.

Sei $\begin{eqnarray*} \mathfrak{p} = (p_1, ... , p_m) \end{eqnarray*}$ ein minimales Erzeugendensystem von $\begin{eqnarray*} \mathfrak{p} \end{eqnarray*}$ . Das maximale Ideal $\begin{eqnarray*} i(\mathfrak{p}) \end{eqnarray*}$ hat dann als minimales Erzeugendensystem $\begin{eqnarray*} i(\mathfrak{p}) = (i(p_1), ... , i(p_m)) \end{eqnarray*}$ , also eines der Länge $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ .

Es bleibt also zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} ht(\mathfrak{p})=m \end{eqnarray*}$ gilt. Wegen der Primidealkette $\begin{eqnarray*} (0) \subsetneq (p_1) \subsetneq (p_1, p_2) \subsetneq ... \subsetneq (p_1, p_2, ... , p_m) = \mathfrak{p} \end{eqnarray*}$ muss $\begin{eqnarray*} ht(\mathfrak{p}) \ge m \end{eqnarray*}$ sein. Gleichheit folgt, weil wir o.E. annehmen können, dass die $\begin{eqnarray*} p_i \end{eqnarray*}$ von oben genannter Form $\begin{eqnarray*} (x_i - \alpha_i) \end{eqnarray*}$ sind und damit jede andere Primidealkette, die in $\begin{eqnarray*} \mathfrak{p} \end{eqnarray*}$ endet, von der Form der eben angegebenen Kette sein muss. Deshalb ist die Kette maximal. $\begin{eqnarray*} \qed \end{eqnarray*}$

25.07.2013, 22:20

tmo

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Schon beim Spektrum hapert es.

Z.b. ist $\begin{eqnarray*} (x^2-y) \end{eqnarray*}$ ein Primideal, das nicht von deiner Form ist.

Man kann das Problem, dass nicht jedes Primideal von dieser Form ist, bestimmt mit Noether-Normalisierung in den Griff kriegen.

Allerdings gibt es eine viel einfachere Methode:

Es reicht die Regularität auf maximalen Idealen zu testen. Und dort ist es deutlich einfacher, da die maximalen Ideale ja in der Tat von dieser einfachen Form sind. (o.B.d.A muss man nur $\begin{eqnarray*} \mathfrak m = (x_1, x_2, \dotsc, x_n) \end{eqnarray*}$ betrachten...)

26.07.2013, 07:35

Kurvenliebhaber

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Das habe ich befürchtet Augenzwinkern

Danke schonmal.

Wie ist das Argument, dass es reicht, maximale Ideale zu betrachten? Weil jedes Primideal in einem maximalem enthalten ist vermute ich.

Ist der restliche Beweis in Ordnung (wenn ich statt Prim- die maximalen Ideale betrachte...)?

26.07.2013, 09:57

tmo

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Das Argument ist das folgende:

Ist $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ein Ring (kommutativ mit 1, wie immer in der alg. Geometrie) und $\begin{eqnarray*} \mathfrak p \subset A \end{eqnarray*}$ prim, so gibt es (wie du bereits sagtest) ein maximales Ideal $\begin{eqnarray*} \mathfrak m \supset \mathfrak p \end{eqnarray*}$ und es gilt:

$\begin{eqnarray*} A_{\mathfrak p} = (A_{\mathfrak m})_{\mathfrak p} \end{eqnarray*}$ .

Dann zu deinem Beweis: In unserm Fall ist dann die Höhe ja gerade n.

Beachte, dass du $\begin{eqnarray*} n \geq m \end{eqnarray*}$ nach Wahl von $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ geschenkt kriegst (Deine Argumentation passt auch nicht so ganz, wer sagt dir, dass die $\begin{eqnarray*} p_i \end{eqnarray*}$ prim sind?).

Die andere Ungleichung hast du mMn noch nicht so wirklich gezeigt. Eigentlich müsstest du dich ja ein bisschen mit der Dimensionstheorie noethersch lokaler Ringe auskennen (sonst macht der Begriff der Regularität ja keinen Sinn). Und aus dieser Theorie folgt die andere Ungleichung auch direkt.

Aber eine ganz andere Frage: Warum arbeitest du alternativ nicht mit der Definition der Regularität über die Einbettungsdimension? $\begin{eqnarray*} \dim_K \mathfrak m / \mathfrak m^2 = n \end{eqnarray*}$ ist ja offensichtlich.

26.07.2013, 15:31

Kurvenliebhaber

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} A_{\mathfrak p} = (A_{\mathfrak m})_{\mathfrak p} \end{eqnarray*}$

Ah, nice!

Zitat:

Die andere Ungleichung hast du mMn noch nicht so wirklich gezeigt. Eigentlich müsstest du dich ja ein bisschen mit der Dimensionstheorie noethersch lokaler Ringe auskennen (sonst macht der Begriff der Regularität ja keinen Sinn). Und aus dieser Theorie folgt die andere Ungleichung auch direkt.

Du meinst wohl den Satz, dass das maximale Ideal eines noeth. lokalen Ringes $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ immer von mind. $\begin{eqnarray*} \dim A \end{eqnarray*}$ Elementen erzeugt sein muss, oder? Ich hoffe ich habe ihn richtig in Erinnerung, bin allgemein noch recht frisch in der Thematik.

Zitat:

Aber eine ganz andere Frage: Warum arbeitest du alternativ nicht mit der Definition der Regularität über die Einbettungsdimension? $\begin{eqnarray*} \dim_K \mathfrak m / \mathfrak m^2 = n \end{eqnarray*}$ ist ja offensichtlich.

Damit fühle ich mich noch unsicher. Doch ich werd mich mal einlesen, auf den ersten Blick sieht es wirklich naheliegend aus.

Danke dir für die Antworten!

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