Reihen Konvergenz

25.07.2013, 18:51

erdbeerjele

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Reihen Konvergenz

Meine Frage:
Hallo,

ich möchte die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^{k}\sin(\frac{1}{k} ) \end{eqnarray*}$ auf Konvergenz untersuchen.

Meine Ideen:
Das sieht ja jetzt alles erstmal nach dem Leibnixkriterium aus, wobei dann noch zu zeigen wäre, dass sin(1/k) eine monoton fallende NF ist. Wie kann ich das denn zeigen, falls es so ist?!

25.07.2013, 18:53

HAL 9000

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Das folgt doch leicht aus der Monotonie der Sinusfunktion $\begin{eqnarray*} x\mapsto \sin(x) \end{eqnarray*}$ im Intervall $\begin{eqnarray*} \left(0,\frac{\pi}{2}\right) \end{eqnarray*}$ .

25.07.2013, 18:56

erdbeerjele

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Also ist das so einfach? Ich dachte da wäre noch irgendwas tückisches bei Big Laugh

Big Laugh

Also konvergiert die Reihe nach dem Leibnizkriterium?

25.07.2013, 18:59

HAL 9000

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Ja, sie konvergiert - aber sie konvergiert nicht absolut.

25.07.2013, 19:00

yoyooyoyo

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Ja so ist es! Nach Leibniz ist die betrachtende Folge eine nach dem Betrage monoton fallende Nullfollge.

25.07.2013, 19:05

erdbeerjele

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ok, vielen Dank! Wie sieht es denn mit der Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^\infty \frac{k\pi ^{k}}{3^{k} logk} \end{eqnarray*}$ aus? Meine Idee war das Wurzelkriterium anzuwenden, also:

$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty }\sqrt[k]{\frac{k\pi ^{k}}{3^{k} logk} } =\lim_{k \to \infty }\frac{\sqrt[k]{k} \pi }{3\sqrt[k]{log k} } \end{eqnarray*}$

Da komme ich nun aber nicht mehr weiter. Die k-te Wurzel aus k geht gegen 1, aber wie sieht es mit der k-ten Wurzel auf log k aus?

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25.07.2013, 19:12

yoyooyoyo

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Eine reihe kann nur konvergieren wenn sie eine Nullfolge ist. Hast du das überprüft ?

25.07.2013, 19:16

yoyooyoyo

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Das war jetzt etwas schräg ausgedrückt und nicht korrekt. Damit eine Reihe (ak) konvergent ist, muss mit k gegen unendlich (ak) eine Nullfolge sein. Ansonsten divergiert sie! Das Nullfolgenkriterium macht jedoch nur Aussagen über divergenz. Eine Nullfolge (ak) kann deshalb auch divergieren. Hier muss man weiter untersuchen mit bekannten Kriterien (Majo/Minorantenkrit, Quot., Wurzel, Integral, etc. etc. )

25.07.2013, 19:17

erdbeerjele

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Nein, wie mach ich das denn. Also ich lasse das n gegen unendlich laufen und dann hab ich doch was unendliches geteilt durch was unendliches, oder nicht?

25.07.2013, 19:23

yoyooyoyo

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Nein, du betrachtest ja p(k)/q(k)

Ein Term wächst schneller mit k gegen unendlich. Das sollte man eigentlich sofort erkennen. Vor allem da bereits pi^k im Verhätnis zu 3^k schneller wächst. Der log wächst außerdem sehr langsam. D.h. man sollte sofort erkennen können ob log(k) oder k schneller wächst.

25.07.2013, 19:37

erdbeerjele

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Ok, verstanden, also kann ich das folgendermaßen formulieren:

Damit die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum a_{k} \end{eqnarray*}$ muss die Folge $\begin{eqnarray*} a_{k} \end{eqnarray*}$ eine Nullfolge sein.

Dazu betrachtet man in diesem Fall $\begin{eqnarray*} \frac{p_{k} }{q_{k} } \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p_{k} = k \pi ^{k} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} q_{k} =3^{k} log k \end{eqnarray*}$ . Für $\begin{eqnarray*} {k \to \infty } \end{eqnarray*}$ gilt stets: $\begin{eqnarray*} \pi ^{k} \geq 3^{k} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k\geq log k \end{eqnarray*}$ . Somit gilt stets: $\begin{eqnarray*} p_{k} \geq q_{k} \end{eqnarray*}$

Somit ist die Folge $\begin{eqnarray*} a_{k} \end{eqnarray*}$ keine Nullfolge und die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum a_{k} \end{eqnarray*}$ divergiert.

Richtig so?

25.07.2013, 19:46

yoyooyoyo

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Unbedingt erwähnen das somit das Zählerpolynom schneller wächst und somit keine Nullfolge sein kann. Erwähne aber bitte noch das aus deinen zwei Ungleichungen somit pi^k * k >3^k * log(k) mit k gegen unendlich folgt.

25.07.2013, 19:54

erdbeerjele

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Vielen lieben Dank smile

smile

Eine hab ich noch, bei der ich auch nicht weiterkomm:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1+ (-1)^{k+1}}{k} \end{eqnarray*}$

Für gerade k ist der Zähler ja stets 0, für ungerade habe ich 2/k das ist immer größer als 1/k, was die harmonische Reihe ist, welche ja divergent ist. Wie bekomm ich das jetzt irgendwie zusammen?

25.07.2013, 20:08

yoyooyoyo

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Naja, gehen wir davon aus das die Reihen konvergent sind. Dann sind wir in der Lage sie auseinander zu ziehen (Denn nach Rechengesetz müssen dann auch beide neuen Reihen die summiert werden konvergent sein), somit folgt:

Reihe 1/k + Reihe ((-1)^(k+1))/1 (Rechengesetz von Reihen)

Man erkennt sofort einen Widerpsruch, dass die erste Reihe 1/k divergent ist (Harmonische Reihe).Deshalb ist auch die vorgegebene Reihe divergent.

Hätest auch wie du bereits erkannt hast das Minorantenverfahren anwenden können.

25.07.2013, 20:10

yoyooyoyo

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Aber vorsicht, das gilt nur für die Addition. Finger weg von solchen Umformungen bei der Multikplikation! Solange es keine Konstante ist die du vor die Reihe ziehen kannst.

25.07.2013, 20:10

erdbeerjele

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Super vielen Dank smile

smile

25.07.2013, 20:13

Guppi12

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Das ist ziemlich ungenau.

Nach deiner Argumentation(yoyoyo) könnte ich dann auch so argumentieren?

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty 0 \end{eqnarray*}$ ist divergent denn:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty 0 = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k}-\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ . Jetzt nehmen wir an, dass das konvergiert und wir können auseinanderziehen: $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k}-\frac{1}{k} = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} + \sum_{k=1}^\infty -\frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ . Da der erst Teil davon nicht konvergiert kann auch die ursprüngliche Reihe nicht konvergieren ?

Du siehst, dass da was nicht stimmt. Ihr müsst also weiter überlegen (bzw. ein bisschen genauer werden).

25.07.2013, 20:14

erdbeerjele

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Also kann man das nicht so einfach auseinander ziehen?

25.07.2013, 20:15

Mulder

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Zitat:

Original von yoyooyoyo
Naja, gehen wir davon aus das die Reihen konvergent sind. Dann sind wir in der Lage sie auseinander zu ziehen (Denn nach Rechengesetz müssen dann auch beide neuen Reihen die summiert werden konvergent sein) [...]

Das ist aber eine recht gefährliche Argumentation. Bei z.B. einer Teleskopreihe kann man damit ganz gewaltig auf die Schnauze fliegen.

Edit: Ups, zu spät. Ich bin draußen.

25.07.2013, 20:22

Guppi12

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Zitat:

Original von erdbeerjele
Also kann man das nicht so einfach auseinander ziehen?

Nein, ganz so funktioniert das nicht.

Die Idee, anzunehmen, dass $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1+ (-1)^{k+1}}{k} \end{eqnarray*}$ konvergiert, ist aber garnicht so schlecht. Nun kann man daraus aber nicht einfach folgern, dass die Summen über die Einzelfolgen auch konvergieren muss. Das hat einfach keine Grundlage und ist im Allgemeinen nicht richtig.

Was alleridings gilt, ist folgendes:

Sei $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty a_k \end{eqnarray*}$ eine weitere konvergente Reihe. Dann konvergiert auch die Summe der beiden, also $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty( \frac{1+ (-1)^{k+1}}{k} + a_k) \end{eqnarray*}$ . Wenn du hier $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ geschickt wählst, kannst du das zu einem Widerspruch führen.

25.07.2013, 20:23

erdbeerjele

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Ok, ich überlege mal etwas!

25.07.2013, 20:26

erdbeerjele

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Ich nehme an ich muss ak so wählen, dass ich da dann hinterher nur noch die harmonische Reihe stehen habe?!

25.07.2013, 20:27

Guppi12

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Ja genau!

25.07.2013, 20:30

yoyooyoyo

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Vielen dank Gruppi12!

25.07.2013, 20:31

erdbeerjele

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Also ist $\begin{eqnarray*} a_{k} = -\frac{(-1)^{k+1}}{k} \end{eqnarray*}$ ??

25.07.2013, 20:34

Guppi12

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Ja richtig!

Wie du sicher weißt, ist die Summe über diese Folge auch wie benötigt, ebenfalls konvergent.

Um das noch abzuschließen, möchte ich noch darlegen, warum das dann mit meinem Beispiel oben nicht funktioniert. Da müsste man a_k = 1/k wählen und diese konvergiert selber nicht, also ist die Regel nicht anwendbar und man findet den Wiederspruch nicht.

Sehr gut, erdbeerjele Freude

Freude

25.07.2013, 20:45

erdbeerjele

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Vielen Dank smile

smile

Ihr habt mir alle sehr geholfen!!

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