Punktweise, gleichmäßige Konvergenz

25.07.2013, 20:57

erdbeerjele

Punktweise, gleichmäßige Konvergenz

Meine Frage:
Hallo,

die Aufgabe, die ich lösen möchte, lautet wie folgt:

Es sei $\begin{eqnarray*} \alpha \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_{n} : \left[0,1\right] \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} f_{n} := n^{\alpha }(1-x)^{n} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ . Bestimmen sie die Werte $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ , für die
a) $\begin{eqnarray*} (f_{n}) \end{eqnarray*}$ punktweise konvergiert.
b) $\begin{eqnarray*} (f_{n}) \end{eqnarray*}$ gleichmäßig konvergiert.
c) $\begin{eqnarray*} (\int_0^1 \! f_{n}(x) \, dx ) \end{eqnarray*}$ konvergiert.

Meine Ideen:
Also ich habe mir jetzt erstmal die Folge genauer angeguckt. Für n gegen unendlich geht das ganze ja gegen 0, wenn x ungleich 0 ist und gegen $\begin{eqnarray*} n^{\alpha } \end{eqnarray*}$ , wenn x gleich 0 ist.
Viel weiter komm ich aber auch nicht. Irgendwie fehlt mir so ein bisschen das Verständnis, wie ich da jetzt dran gehe.

25.07.2013, 22:43

dastrian

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RE: Punktweise, gleichmäßige Konvergenz
Moin moin,

Zitat:

Original von erdbeerjele
Für n gegen unendlich geht das ganze [...] gegen $\begin{eqnarray*} n^{\alpha } \end{eqnarray*}$ , wenn x gleich 0 ist.

Ja aber wohin geht denn $\begin{eqnarray*} n^{\alpha } \end{eqnarray*}$ für n gegen unendlich?

Bevor wir zur c) kommen, noch ein Tip zur b): Gleichmäßige konvergenz impliziert punktweise Konvergenz.

26.07.2013, 06:17

erdbeerjele

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$\begin{eqnarray*} n^{\alpha} \end{eqnarray*}$ geht für n gegen unendlich auch gegen unendlich, es sei denn ich wähle mir das alpha grade so, dass es nicht so ist. Kann es sein, dass bei gleichmäßiger Konvergenz alpha <0 sein muss, denn dann kann ich mir das ja vorstellen als einen Bruch, welcher $\begin{eqnarray*} n^{\alpha} \end{eqnarray*}$ im Nenner hat und für n gegen unendlich, ebenfalls gegen 0 geht. Wenn beide Fälle dann gegen 0 gehen ist die Grenzfunktion f(x)=0 stetig und es liegt gleichmäßige Konvergenz vor.
Bei der punktweisen Konvergenz wäre es dann nicht nur alpha <0 sondern, alpha <=0, da ja hier auch der Fall n^0=1 zugelassen werden darf.
Stimmt das so weit? Und kann mir vielleicht jemand sagen, wie ich das formal richtig aufschreibe?
Und wie funktioniert c?

26.07.2013, 09:31

dastrian

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Guten Morgen!

Zitat:

Original von erdbeerjele
$\begin{eqnarray*} n^{\alpha} \end{eqnarray*}$ geht für n gegen unendlich auch gegen unendlich, es sei denn ich wähle mir das alpha grade so, dass es nicht so ist.

Ja genau! Und wie du schon sagtest, dazu muss $\begin{eqnarray*} \alpha <= 0 \end{eqnarray*}$ sein. Kannst du dann aber nochmal genau die Grenzfunktion angeben, und zwar mit Fallunterschidung in $\begin{eqnarray*} \alpha = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha < 0 \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

... ist f(x)=0 stetig und es liegt gleichmäßige Konvergenz vor.

Vorsicht: Aus gleichmäßiger Konvergenz stetiger Funktionen folgt, dass die Grenzfunktion stetig ist - ABER die Umkehrung glt nicht: also falls ein FOlge stetiger Funktionen punktweise gegen eine Funktion konvergiert, die ebenfalls stetig ist, so muss die konvergenz nicht gleichmäßig sein:
Gegenbeispiel: $\begin{eqnarray*} g_n : [0,1) \rightarrow [0,1), g_n(t)=t^n \end{eqnarray*}$ konvergiert punktweise gegen die Nullfunktion auf [0,1), aber konvergiert nicht gleichmäßig. (Das ist ein Standardbeispiel, aber meist liest man es unter Einschluss der 1.)

Trotzdem: du bist schon auf dem richtigen Weg

Zum formalen Aufschreiben:
Bei punktweise Konvegenz gibst du dir ein x aus dem Definitionsbereich vor und zeigst dann die Konvergenz der Folge f_n(x) in R, ganz normal, z.B. (aber hier wäre das schon zu viel) indem du dir ein epsilon vorgibst und dann ein delta findest, s.d. bla... (dieses bla sollta Standard sein!!)
Bei der gleichmäßigen Konvergenz wählst du eben nicht ein konkretes x, sondern gibst dir NUR ein epsilon vor und zeigst, dass du dann wieder ein delta finden kannst, s.d. bla gilt - unabhängig von der Wahl von x!

Zu c): Ich würde erstmal einfach das konkrete Integral ausrechnen (damit meine ich $\begin{eqnarray*} \int f_n(x) dx \end{eqnarray*}$ für beliebiges n)

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