Gleichmäßige Stetigkeit, Gleichmäßige Konvergenz

26.07.2013, 07:00	erdbeerjele	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichmäßige Stetigkeit, Gleichmäßige Konvergenz Meine Frage: Guten Morgen, ich sitze grad an der folgenden Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} f_{n} : \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray}$ eine Folge gleichmäßig stetiger Funktionen, die gleichmäßig gegen eine Funktion f konvergiert. Zeigen Sie, dass f gleichmäßig stetig ist. Meine Ideen: Meine Idee war es mir erstmal die Definitionen nochmal genauer anzugucken: Da $\begin{eqnarray} f_{n} \end{eqnarray}$ eine Folge gleichmäßig stetiger Funktionen ist, gilt ja: $\begin{eqnarray} \forall \epsilon > 0 \exists \delta >0 \forall x,y \in I: \|x-y\| < \delta \Rightarrow \|f_{n}(x) -f_{m}(y)\| \end{eqnarray}$ und da diese Folge gleichmäßig gegen f konvergiert gilt: $\begin{eqnarray} \forall \epsilon > 0 \exists n_{0} \in \mathbb N \forall n\geq n_{0} \forall x\in M : \|f_{n}(x) -f(x)\| \end{eqnarray}$ . Und zu zeigen ist ja jetzt, dass aus diesen beiden Eigenschaften folgt, dass auch $\begin{eqnarray} f_{n} \end{eqnarray}$ eine Folge gleichmäßig stetiger Funktionen ist, gilt ja: $\begin{eqnarray} \forall \epsilon > 0 \exists \delta >0 \forall x,y \in I: \|x-y\| < \delta \Rightarrow \|f(x) -f(y)\| \end{eqnarray}$ . Hab ich das so alles richtig aufgeschrieben? Und wie fang ich jetzt am besten an?
26.07.2013, 07:53	erdbeerjele	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat sich erledigt, habs hinbekommen.

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