10 Kreise um 1 Kreis - Durchmesser berechnen

26.07.2013, 10:11

sv_t

10 Kreise um 1 Kreis - Durchmesser berechnen

Meine Frage:
Hallo Comunity, ich möchte um einen großen Kreis (R = 6cm) 10 gleich große Kreise anordnen, die sowohl den großen Kreis als auch den Nachbarkreis jeweils 1x an der Tangente berühren. Dazu möchte ich mathematisch ermitteln, welchen Durchmesser jeder der äußeren Kreise haben muss. Kann man sowas überhaupt ausrechnen oder geht das nur grafisch zu lösen?

[attach]31060[/attach]

Meine Ideen:
Dazu habe ich mal etwas das WWW durchforstet und bin hier fündig geworden:
http://www.mathematische-basteleien.de/kreise_im_kreis.htm
Allerdings kann ich das nicht anwenden, weil ich da nur das Verhältnis vom Radius der äußeren Kreise zum Gesamtradius (also Radius innerer Kreis + 2x Radius äußere Kreise) bekomme.

26.07.2013, 11:07

HAL 9000

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Betrachte das gleichschenklige Dreieck mit den Eckpunkten "Mittelpunkt des Innenkreises" sowie zwei benachbarte Mittelpunkte der kleinen Kreise. Dieses hat der Symmetrie wegen den Winkel $\begin{eqnarray*} \frac{360^{\circ}}{n} \end{eqnarray*}$ an der Spitze, sowie die Schenkellängen $\begin{eqnarray*} R+\frac{D}{2} \end{eqnarray*}$ und die Basisseitenlänge $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ . Zieht man noch die Basishöhe ein, erhält man sofort den Zusammenhang

$\begin{eqnarray*} \sin\left( \frac{180^{\circ}}{n} \right) = \frac{\frac{D}{2}}{R+\frac{D}{2}} = \frac{D}{2R+D} \end{eqnarray*}$

was du locker nach $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ umstellen kannst, denn $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ sind dir ja bekannt.

26.07.2013, 11:08

Steffen Bühler

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RE: 10 Kreise um 1 Kreis - Durchmesser berechnen
Zieh vom Mittelpunkt des großen Kreises eine Linie zum Mittelpunkt eines der kleinen Kreise sowie eine weitere Linie zum Berührpunkt des kleinen Kreises mit einem seiner Nachbarkreise.

Siehst Du das rechtwinklige Dreieck? Das sollte weiterhelfen.

Viele Grüße
Steffen

PS: Grmbl, eine Minute zu spät, naja, jetzt kann er sich die Methode aussuchen... smile

26.07.2013, 11:12

Grautvornix

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RE: 10 Kreise um 1 Kreis - Durchmesser berechnen
Die Mittelpunkte der umgebenden Kreise bilden ein regelmäßiges 10-Eck.
Berechne zunächst die Höhe dieses 10-Ecks und anschließend damit dann den Radius bzw. Durchmesser der Kreise.

26.07.2013, 18:46

sv_t

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Euch erstmal vielen Dank für die Antworten.
Leider ist mein letzter Matheunterricht schon 20 Jahre her.

Dem Lösungsvorschlag von HAL 9000 kann ich noch ganz gut folgen, allerdings stelle ich mich einfach zu doof an die Gleichung nach D umzustellen.

Mit dem Lösungsvorschlag von Steffen kann ich dagegen nicht so viel anfangen.
Ich habe zwar ein rechtwinkliges Dreieck und der Winkel $\begin{eqnarray*} alpha \end{eqnarray*}$ ist mit 36° bekannt, aber sonst habe ich keine weitere Angabe.
Bekannt ist ja weiterhin nur der Radius des inneren Kreises.

Gruß Sven

26.07.2013, 19:00

HAL 9000

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Zitat:

Original von sv_t
Leider ist mein letzter Matheunterricht schon 20 Jahre her.

Da ist dann aber verdammt viel eingerostet: Nach Multiplikation mit $\begin{eqnarray*} (2R+D) \end{eqnarray*}$ ist das oben eine einfache lineare Gleichung für die Unbekannte $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ , d.h. mit Abkürzung $\begin{eqnarray*} s=\sin\left( \frac{180^{\circ}}{n} \right) \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} (2R+D)s = D \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2Rs+Ds = D \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2Rs = D(1-s) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D = \frac{2Rs}{1-s} \end{eqnarray*}$ ,

das meinte ich mit "locker". Sollte man eigentlich genauso wenig verlernen wie Fahrradfahren.

Anmerkung: Im Fall $\begin{eqnarray*} n=10 \end{eqnarray*}$ ist übrigens $\begin{eqnarray*} s = \sin(18^{\circ}) = \frac{\sqrt{5}-1}{4} \end{eqnarray*}$ , womit sich oben ein ziemlich "rundes" Ergebnis ergibt, zumindest in Bezug auf die Flächeninhalte der beteiligten Kreise. Augenzwinkern

26.07.2013, 20:58

sv_t

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Naja, wenn man damit garnichts mehr zu tun hat kann man das doch wieder verlernen.
Beim Gleichungumstellen bin ich bis zum zweiten Schritt gekommen, aber dann wusste ich
nicht mehr wie ich bei der Gleichung $\begin{eqnarray*} 2Rs+Ds=D \end{eqnarray*}$ den Schritt $\begin{eqnarray*} -Ds \end{eqnarray*}$ ausführe.
Wie komme ich denn auf der rechten Seite bei $\begin{eqnarray*} D-Ds \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} D(1-s) \end{eqnarray*}$ ?

Danke, Gruß Sven.

26.07.2013, 22:00

HAL 9000

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Distributivgesetz (Ausklammern):

$\begin{eqnarray*} D - D\cdot s = D\cdot {\color{red}1} - D\cdot s = D\cdot ({\color{red}1} - s) \end{eqnarray*}$

27.07.2013, 06:50

sv_t

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Ah ja, da kann ich mich wieder dunkel dran erinnern.
Ich danke Dir für Deine Hilfe und Geduld.

Gruß Sven.

29.07.2013, 08:24

Steffen Bühler

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Bin zwar eigentlich raus, aber zur Ergänzung:

Zitat:

Original von sv_t
Ich habe zwar ein rechtwinkliges Dreieck und der Winkel $\begin{eqnarray*} alpha \end{eqnarray*}$ ist mit 36° bekannt, aber sonst habe ich keine weitere Angabe.

Vielleicht meinen wir nicht dasselbe Dreieck. Der Winkel ist 18°, nicht 36°. Die Ankathete ist R+D/2, die Gegenkathete ist D/2. Jetzt noch etwas Trigonometrie et voilà.

Viele Grüße
Steffen

29.07.2013, 09:37

HAL 9000

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Zitat:

Original von Steffen Bühler
Der Winkel ist 18°, nicht 36°. Die Ankathete ist R+D/2, die Gegenkathete ist D/2.

Sicher (s.o.) ?

29.07.2013, 09:57

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von HAL 9000
Sicher (s.o.) ?

Ich hab's mal reingezeichnet.

Viele Grüße
Steffen

29.07.2013, 10:24

HAL 9000

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Wie kommst du darauf, dass der Winkel dann $\begin{eqnarray*} 18^{\circ} \end{eqnarray*}$ ist? Das wäre er, wenn die gelbe Seite nicht die Hypotenuse wäre, sondern nur bis zum Berührungspunkt der beiden benachbarten kleinen Kreise gehen würde. In dem Fall ist dann die rote Seite Hypotenuse statt Ankathete, und wir kommen auf den Sinus statt den Tangens (wieder "s.o.").

29.07.2013, 10:30

Steffen Bühler

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Hm, ich glaube, ich brauch allmählich eine Sommerpause.

Natürlich hast Du (wieder mal) recht, dankeschön.

Sven, verzeih bitte die Verwirrung.

Viele Grüße
Steffen

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