Partielle Ableitung im Punkt, Stetigkeit

26.07.2013, 14:34

Pauline21

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Partielle Ableitung im Punkt, Stetigkeit

Meine Frage:
Guten Mittag. Es sei

$\begin{eqnarray*} f: \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R, (x,y) \mapsto \begin{cases}<br /> \frac{x^3 y+x^5}{x^4+y^4}, & \text{für }(x,y)\ne (0,0)\\<br /> 0, & \text{für }(x,y)=(0,0)<br /> \end{cases} \end{eqnarray*}$

a) Berechnen Sie die partiellen Ableitungen von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$

b) Berechnen Sie die partiellen Ableitungen von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in allen $\begin{eqnarray*} (x,y) \ne (0,0). \end{eqnarray*}$

c) Untersuchen Sie, ob $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ stetig in $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ ist.

Meine Ideen:
Allgemein gilt ja:
$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x_i}(a) := \lim_{h\to 0} \frac{f(a_1,\ldots,a_i+h,\ldots,a_n) - f(a_1,\ldots,a_i,\ldots,a_n)}{h} \end{eqnarray*}$

zu a) da habe ich immer Probleme die Punkte einzusetzen.

b) $\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x}=\frac{(3x^2 y+5x^4)\cdot (x^4+y^4)-4x^3 \cdot (x^3 y+x^5)}{(x^4 +y^4)^2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{x^3\cdot (x^4+y^4)-4y^3 \cdot (x^3 y+x^5)}{(x^4 +y^4)^2} \end{eqnarray*}$

c)Da muss ja gelten $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} f(x)=f(x_0) \end{eqnarray*}$ aber das ist ja wenn nur eine Variable vorhanden ist. Wir haben es ja mit einer Funktion mit mehreren Variablen zu tun.

Danke und liebe Grüße

Paula

26.07.2013, 14:50

McClane

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Zu a) Wie lautet den dein Punkt a und deine xi? Du musst hier nur einsetzen

Zu b) Das sieht soweit richtig aus

Zu c) Wie kontrolliert man den Stetigkeit allgemein? Was muss mit den Grenzwerten geschehen?

26.07.2013, 14:55

Pauline21

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Naja mein Punkt $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ und meine $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ sind $\begin{eqnarray*} x_1, x_2 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} x,y \end{eqnarray*}$

c) Naja der Grenzwert der Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ im Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ muss gleich der Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ im Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ sein.

26.07.2013, 15:11

McClane

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Zur a) Ok. Guck dir mal das Verfahren mit dem Differenzenquotienten im eindimensionalen an. Versuche das im zewidimensionalen hier umzusetzen.

Zur b) Richtig. Was musst du also überprüfen?

26.07.2013, 15:36

Pauline21

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RE: Partielle Ableitung im Punkt, Stetigkeit
c) Was ich machen muss naja das dies: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_0} f(x)=f(x_0) \end{eqnarray*}$ hier gilt. Mein $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ist ja $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$

26.07.2013, 16:52

Huggy

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RE: Partielle Ableitung im Punkt, Stetigkeit
Bei der Frage der Stetigkeit ist es hilfreich, wenn man eine Vermutung - und möglichst eine korrekte Vermutung - hat, ob die Funktion in dem fraglichen Punkt stetig ist oder nicht.

Ist sie stetig, bleibt einem oft nichts anderes übrig, als das allgemeine Stetigkeitskriterium durch geeignete Abschätzungen nachzuweisen. Ist sie aber unstetig, genügt es ein Gegenbeispiel zu finden, d. h. eine Kurve oder Folge, auf der der Grenzwert vom Funktionswert verschieden ist oder gar nicht existiert.

Hast du eine Vermutung, ob die Funktion in (0, 0) stetig ist oder nicht?

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26.07.2013, 17:42

Pauline21

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RE: Partielle Ableitung im Punkt, Stetigkeit
Sie ist nicht stetig in $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ nur ich verstehe nicht wie man das mit den Folgen $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ dann machen soll. Man wählt dann ja irgendwie $\begin{eqnarray*} f(a_n) \mapsto f(a) \end{eqnarray*}$ quasi und unsere Folgen sollten dann $\begin{eqnarray*} a_n=\frac 1n \end{eqnarray*}$ sein. Ist wohl bisschen komisch ausgedrückt.

26.07.2013, 18:31

Huggy

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RE: Partielle Ableitung im Punkt, Stetigkeit

Zitat:

Original von Pauline21Ist wohl bisschen komisch ausgedrückt.

Ziemlich! Man sucht eine Folge $\begin{eqnarray*} (x_n, y_n) \end{eqnarray*}$ , die gegen den Punkt $\begin{eqnarray*} (0, 0) \end{eqnarray*}$ konvergiert. Wenn dann $\begin{eqnarray*} f(x_n, y_n) \end{eqnarray*}$ nicht gegen $\begin{eqnarray*} f(0,0) \end{eqnarray*}$ konvergiert, dann ist die Funktion nicht stetig.

Betrache mal die Diagonale $\begin{eqnarray*} y = x \end{eqnarray*}$ . Statt einer Folge auf dieser Geraden würde ich gleich den Grenzwert der Funktion auf dieser Geraden betrachten. Aber mit einer Folge geht es natürlich auch.

26.07.2013, 18:34

McClane

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Bei einer Folge hat man auch evtl das Problem, dass man eine Folge erwischt, für die die Funktion gegen den gewünschten Grenzwert konvergiert. Dies bedeutet aber nicht, dass die Funktion stetig ist. Stetig wäre sie, wenn du dies für alle Folgen zeigen könntest. Ich würde das bei der Vermutung "Nicht-Stetigkeit" auch mit den Grenzwerten probieren.

26.07.2013, 20:01

Pauline21

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$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} f\left( \frac 1n , \frac 1n \right) = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n^4}+\frac{1}{n^5}}{\frac{1}{n^4}+\frac{1}{n^4}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1- \frac 1n}{2} \to \frac 12 \ne 0 \Rightarrow \text{ f nicht stetig in } (0,0) \end{eqnarray*}$

26.07.2013, 20:05

McClane

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Sehr gut!

Augenzwinkern

Probier es noch zusätzlich mit den Grenzwerten. Dann hast du die Methode auch verstanden

26.07.2013, 21:52

Pauline21

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Wie meinst du das zusätzlich mit den Grenzwerten?

27.07.2013, 08:24

Huggy

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Gemeint ist, den Grenzwert der Funktion zu betrachten statt des Grenzwertes einer Folge. Es ist

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} f(x,x)=\lim_{x \to 0} \frac {x^4+x^5}{x^4+x^4}=\lim_{x \to 0} \frac {1+x}{2}=\frac {1}{2} \end{eqnarray*}$

27.07.2013, 08:34

Pauline21

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Zitat:

Original von McClane
Probier es noch zusätzlich mit den Grenzwerten.

Den Grenzwerten? Welchen denn noch?

27.07.2013, 08:47

Huggy

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Vermutlich war da nicht wirklich der Plural gemeint. Aber man kann natürlich weitere Gegenbeispiele konstruieren. Statt der Diagonalen kann man z. B. andere Geraden y = kx durch den Nullpunkt betrachten.

Doch als Warnung: Wenn solche Geraden kein Gegenbeispiel ergeben, heißt das nicht, dass die Funktion stetig ist. Gegenbeispiele können sich auch auf anderen Kurven als Geraden ergeben.

27.07.2013, 10:00

Pauline21

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Okay. Hm ich verstehe jedoch nicht wieso man das macht, einerseits nicht mit den Folgen, andererseits mit dem Grenzwert. Die Folgen sind auch immer bzw. meistens $\begin{eqnarray*} \frac 1n \end{eqnarray*}$ ? Beide Verfahren gelten aber als Lösung?

27.07.2013, 10:19

Huggy

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Es gibt mehrere äquivalente Definitionen der Stetigkeit. siehe z. B.

http://de.wikipedia.org/wiki/Stetigkeit

Zum Nachweis bzw. der Widerlegung der Stetigkeit einer Funktion kann man sich eines davon auswählen. Wenn der fragliche Punkt die $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} (0,0) \end{eqnarray*}$ etc. ist, sind Folgen basierend auf $\begin{eqnarray*} 1/n \end{eqnarray*}$ oft hilfreich, aber nicht immer. Bei der Dirichletfunktion (siehe auch obigen Link) braucht man z. B. eine Nullfolge, die zwischen rationalen und irrationalen Werten wechselt.

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