Variation der Konstanten

26.07.2013, 19:53

1=0!

Variation der Konstanten

Hallo,

Ich habe die Differentialgleichung y'(c)=(1/x)*y(x)+x gelöst durch den Ansatz (y_hom)(x)=c*e^(ln(x)-ln(x_0))=cx/x_0 (aus Integral mit grenzen x_0 und x)

Nun lasse c varieren, betrachte also c(x).
Letzendlich erhalte ich y(x)=(c(x_0)+x*(x_0)-(x_0)^2)*x/(x_0).
Ich frage mich aber was nun c(x_0) sein soll. Ist c(x_0)=c und kann ich dies in der Lösung schreibem?

Wäre die Lösungsmenge der Funktionen

{y:y(x)=(1*x/(x_0))+(cx/(x_0)+(x^2)-(x_0)x) } . Beim homogenen Anteil habe ich c=1 fest gewählt. c(x_0) habe ich jetzt einfach c gelassen, weil c(x_0) ist ja eine konstante Funktion.

Hätte ich jetzt noch eine Anfangsbedingung y(2)=5. So würde ich (x_0)=2 setzen und und die Gleichung auflösen so dass ich c bestimmen kann.

Danke im Vorraus!

26.07.2013, 21:41

Kasen75

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Hallo,

ist das die Aufgabenstellung $\begin{eqnarray*} y'(x)=(1/x) \cdot y(x)+x, \ \ y(2)=5 \end{eqnarray*}$ ?

Wenn ja, dann sehe ich nicht, dass deine homogene Lösung stimmt.

Allgemein ist die homogene DGL $\begin{eqnarray*} y'(x)=f(x) \cdot y(x) \end{eqnarray*}$ .

Die Lösungsformel ist dann: $\begin{eqnarray*} y=C \cdot e ^{- \int f(x) \ \ dx} \end{eqnarray*}$

Grüße.

26.07.2013, 22:19

original

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Zitat:

Original von Kasen75

Allgemein ist die homogene DGL $\begin{eqnarray*} y'(x)=f(x) \cdot y(x) \end{eqnarray*}$ verwirrt

Die Lösungsformel ist dann: $\begin{eqnarray*} y=C \cdot e ^{- \int f(x) \ \ dx} \end{eqnarray*}$ smile

........... bist du sicher?
.

26.07.2013, 22:31

Kasen75

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@Original

Nein. So besser $\begin{eqnarray*} y'(x)=-f(x) \cdot y(x) \end{eqnarray*}$ ?

26.07.2013, 22:45

original

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.......... bist du sicher?

Zitat:

Original von Kasen75
@Original

Nein.

So besser $\begin{eqnarray*} y'(x)=-f(x) \cdot y(x) \end{eqnarray*}$ ?

............................ .... JA ..

so ->

DGL $\begin{eqnarray*} y'(x)=f(x) \cdot y(x) \end{eqnarray*}$

Die Lösungsformel ist dann: $\begin{eqnarray*} y=C \cdot e ^{+ \int f(x) \ \ dx} \end{eqnarray*}$

oder so ->

DGL $\begin{eqnarray*} y'(x)+ f(x) \cdot y(x) = 0 \end{eqnarray*}$
=>
Die Lösungsformel ist dann: $\begin{eqnarray*} y=C \cdot e ^{- \int f(x) \ \ dx} \end{eqnarray*}$

.

27.07.2013, 04:12

Kasen75

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@1=0!

Die Lösung der DGL $\begin{eqnarray*} y'=a(t) \cdot y(t)+b(t) \end{eqnarray*}$ mit dem Anfangswert $\begin{eqnarray*} y(t_0)=y_0 \end{eqnarray*}$ ist

$\begin{eqnarray*} \large{\text{$ y=e^{a_s(t)} \cdot c(t)$}} \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} a_s(t)=\int_{t_0}^t a(\tau) \ d \tau \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \large{\text{$c(t)=y_0+ \int_{t_0}^t e^{-a_s(\tau)} \cdot b(\tau) \ d\tau$}} \end{eqnarray*}$

Deine Überlegungen bzw. dein Anliegen sind für mich schwer nachzuvollziehen. Es wäre auch gut, wenn du dein Anliegen sauberer aufschreiben würdest. Es gibt nicht umsonst $\begin{eqnarray*} \text{\LaTeX} \end{eqnarray*}$

Auf jeden Fall wäre in deinem Fall $\begin{eqnarray*} t_0=2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_0=5 \end{eqnarray*}$ .

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