Extrema unter Nebenbedingung - Seite 2

28.07.2013, 20:12

Alexandra Ardanex

RE: Extrema unter Nebenbedingung

Zitat:

Original von Huggy
Du warst doch auf die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \frac {9}{4}y^2=1 \end{eqnarray*}$

gekommen. Daraus folgt

$\begin{eqnarray*} y= \pm \sqrt \frac{4}{9}=\pm \frac {2}{3} \end{eqnarray*}$

Du hast nur $\begin{eqnarray*} y=2/3 \end{eqnarray*}$ angegeben.

Ahso dadurch erhalte ich den anderen Punkt. Wie überprüfe ich den jetzt ob es sich um einen Tiefpunkt oder Hochpunkt handelt? Normalerweise hat man dies ja in die zweite Ableitung hineingetan und geguckt ob es größer oder kleiner Null ist. Größer Null bedeutete Tiefpunkt. Kleiner Null bedeutete Hochpunkt. Hier ist es genau andersrum verwirrt

Möchte mich ganz herzlich bei Euch bedanken.

28.07.2013, 20:51

Huggy

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RE: Extrema unter Nebenbedingung

Zitat:

Original von Alexandra Ardanex
Wie überprüfe ich den jetzt ob es sich um einen Tiefpunkt oder Hochpunkt handelt

Auch dazu habe ich dir schon etwas geschrieben. Lies es einfach noch mal durch. Wenn du etwas davon nicht verstehst, stell eine konkrete Frage.

28.07.2013, 21:25

Alexandra Ardanex

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RE: Extrema unter Nebenbedingung

Zitat:

Original von Huggy
das Verfahren recht schnell ziemlich komplex wird, empfiehlt es sich, auch nach anderen Methoden Ausschau zu halten um zu entscheiden, ob Extrema vorliegen und falls ja, welcher Art sie sind. Im vorliegenden Beispiel ist das ganz einfach möglich.

Das wäre Einsetzen in die Ausgangsfunktion.

Zitat:

Original von Huggy
Da nur 2 kritische Punkte gefunden wurden, ist der eine das Maximum und der andere das Minimum. Man braucht die beiden Punkte nur in f einzusetzen, um zu sehen, welcher das Maximum und welcher das Minimum ergibt.

Woran erkenne ich jetzt das Maximum bzw. Minimum

Zitat:

Original von Huggy
Da es aber ein Minimum und ein Maximum geben muss (siehe mein obiges Argument), braucht man nur die beiden Lösungenn in f einzusetzen. Dann sieht man doch, welche das Minimum und welche das Maximum von f ergibt.

Ja es ist eine 50:50 Chance wenn man jetzt wüsste wie es ist. Wie in der Schule es gängig war habe ich ja genannt. Also genau andersrum?

Wie unterscheidet sich jetzt das Bestimmen von Extrempunkten mit und ohne Nebenbedingungen. Worauf ich hinaus will ist, dass ich ein Vorgehensschema haben will woran ich mich orientieren kann, halbwegs.

29.07.2013, 09:39

Huggy

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RE: Extrema unter Nebenbedingung

Zitat:

Original von Alexandra Ardanex
Ja es ist eine 50:50 Chance wenn man jetzt wüsste wie es ist. Wie in der Schule es gängig war habe ich ja genannt. Also genau andersrum?

Irgendwie scheint hier bei dir heillose Verwirrung zu herrschen. Du hast die beiden kritischen Punkte

$\begin{eqnarray*} p_1 = \left(\frac 13, -\frac 23, \frac 14\right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} p_2 = \left(-\frac 13, \frac 23, -\frac 14\right) \end{eqnarray*}$

gefunden. Nun weißt du, dass die Funktion f ein Maximum und eine Minimum hat. Das konnte man mit dem Argument der stetigen Funktion auf einer geschlossenen Kurve zeigen. Also berechnen wir

$\begin{eqnarray*} f(p_1)=\frac{3}{4} \quad f(p_2)=-\frac {3}{4} \end{eqnarray*}$

Also ist das Maximum bei $\begin{eqnarray*} p_1 \end{eqnarray*}$ und das Minimum bei $\begin{eqnarray*} p_2 \end{eqnarray*}$ . Mit der Schulmethode (Vorzeichen der 2. Ableitung) hat das gar nichts zu tun. Es geht hier nicht um die Vorzeichen von $\begin{eqnarray*} f(p_1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(p_2) \end{eqnarray*}$ , sondern darum, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} f(p_1)>f(p_2) \end{eqnarray*}$

Das würde auch bei gleichen Vorzeichen die Entscheidung ermöglichen. Entscheidend war, dass man ein Argument hatte, dass tatsächlich ein Maximum und ein Minimum vorliegt und es nur 2 kritische Punkte gab. Ohne dieses Wissen nützt das Einsetzen von $\begin{eqnarray*} p_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p_2 \end{eqnarray*}$ in f überhaupt nichts. Es könnte dann ja sein, dass überhaupt keine Extrema vorliegen.

Zitat:

Wie unterscheidet sich jetzt das Bestimmen von Extrempunkten mit und ohne Nebenbedingungen. Worauf ich hinaus will ist, dass ich ein Vorgehensschema haben will woran ich mich orientieren kann, halbwegs.

(1) lokale Extrema einer Funktion f von mehreren Veränderlichen ohne Nebenbedingungen

notwendige Bedingung: $\begin{eqnarray*} \nabla f = 0 \end{eqnarray*}$
Daraus ergeben sich die kritischen Punkte = Kandidatenpunkte für lokale Extrema
Die Hessematrix liefert eventuell eine hinreichende Bedingung, allerdings nur, wenn sie nicht semidefinit ist. Ist sie semidefinit, muss man nach anderen Argumenten suchen. Dafür gibt es kein allgemeines Rezept.

(2) lokale Extrema einer Funktion f von mehreren Veränderlichen mit Nebenbedingungen

Methode 1
Die Nebenbedingungen auflösen, falls das möglich ist, und in f einsetzen. Das führt die Aufgabe auf (1) zurück, wobei sich die Zahl der Veränderlichen reduziert. Bei unserem Beispiel geht das und man hat dann nur noch Funktionen einer Veränderlichen, die mit Schulmethoden untersucht werden können.

Methode 2
Aufstellen der Lagrangefunktion L, die mittels der Lagrangemultiplikatoren die Nebenbedingungen enthält.

notwendige Bedingung: $\begin{eqnarray*} \nabla L =0 \end{eqnarray*}$
Daraus ergeben sich wieder die kritischen Punkte. Ein hinreichende Bedingung kann die geränderte Hessematrix liefern. Allerdings wird jetzt nicht die Definitheit der Matrix benutzt, sondern die Vorzeichenreihenfolge der führenden Hauptminoren. Details findet man in meinem obigen Link dazu. Wenn die geränderte Hessematrix keine Entscheidung liefert oder einem zu kompliziert erscheint, kann man wieder nach anderen Methoden suchen. Wieder gibt es dafür kein allgemeines Rezept.

29.07.2013, 10:17

Alexandra Ardanex

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Oki super danke. Wovon hängt es denn ab wie viele $\begin{eqnarray*} \lambda's \end{eqnarray*}$ ich bei der Lagrangefunktion einsetze. Ich habe eine andere Aufgabe die nach dem gleichen Prozedere geht:
Bestimmen Sie die lokalen Extrema der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x,y)=xy^2 \end{eqnarray*}$ unter der Nebenbedingung $\begin{eqnarray*} x+y=1 \end{eqnarray*}$ . Sind globale Extrema vorhanden?

Ich verstehe dort nicht was mit den Epsilons gemacht wird?

29.07.2013, 11:33

Huggy

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Zitat:

Original von Alexandra Ardanex
Ich verstehe dort nicht was mit den Epsilons gemacht wird?

Das ist eine von den anderen Methoden, um zu entscheiden, ob in einem kritischen Punkt tatsächlich ein lokales Extremum vorliegt. Man zeigt hier direkt durch Ausrechnen, dass in einer Umgebung des kritischen Punktes die Funktion nur größere oder nur kleinere Werte annimmt als in dem kritischen Punkt selbst.

Sei $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0) \end{eqnarray*}$ ein kritischer Punkt. Man betrachtet dann in dem Beispiel eine Rechteckumgebung $\begin{eqnarray*} |x-x_0|<\epsilon \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |y-y_0|<\delta \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \epsilon, \delta >0 \end{eqnarray*}$ . Aus der Nebenbedingung $\begin{eqnarray*} x+y =1 \end{eqnarray*}$ ergibt sich $\begin{eqnarray*} \delta = -\epsilon \end{eqnarray*}$ . Die Rechteckumgebung schrumpft dadurch zu einem Geradenstück. Zur Vereinfachung teilt man die Umgebung in die Bereiche $\begin{eqnarray*} x > x_0 \end{eqnarray*}$ , d. h. $\begin{eqnarray*} x=x_0+ \epsilon \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x < x_0 \end{eqnarray*}$ d. h. $\begin{eqnarray*} x=x_0-\epsilon \end{eqnarray*}$ auf.

Viel einfacher wäre es, man würde $\begin{eqnarray*} x =1-y \end{eqnarray*}$ in die Zielfunktion einsetzen, die danach nur von y abhinge und die Nebenbedingung wäre schon erschlagen. Dann könnte man f mit den Schulmethoden behandeln. Allerdings hätte man dann auch keinen Übungseffekt für die Methode mit den Lagrangemultiplikatoren.

29.07.2013, 11:42

Alexandra Ardanex

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Hm. Ziemlich "komplex" alles.

Zitat:

Original von Alexandra Ardanex
Wovon hängt es denn ab wie viele $\begin{eqnarray*} \lambda's \end{eqnarray*}$ ich bei der Lagrangefunktion einsetze.

Könntest du mir vllt bitte noch die Frage beantworten? smile

29.07.2013, 11:51

Huggy

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Für jede Nebenbedingung gibt es ein $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ , also Zahl der Lambdas = Zahl der Nebenbedingungen.

Besonders komplex ist das nicht. Aber du musst dich zwingend inhaltlich mit den Dingen auseinandersetzen. Hilfe, gebt mir ein Rezept, mit dem ich ohne Benutzung meines Kopfes alles stur abarbeiten kann, wird dich auf Dauer in große Schwierigkeiten bringen.

30.07.2013, 22:58

Alexandra Ardanex

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Zitat:

Original von mYthos

$\begin{eqnarray*} L(x, y, z, \lambda_1, \lambda_2) = x - y - z + \lambda_1( ... ) + \lambda_2 ( ... ) \end{eqnarray*}$

Mir stellt sich noch eine Frage, als ich das durchgegangen bin. Wie kommt man auf

$\begin{eqnarray*} x - y - z \end{eqnarray*}$ ? In der Lagrangefunktion?

30.07.2013, 23:09

Dopap

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RE: Extrema unter Nebenbedingung

Zitat:

Original von Alexandra Ardanex

Berechnen Sie mittels der Theorie der Extrema unter Nebenbedingungen das Maximum und das Minimum der Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x,y,z)=x-y-z \end{eqnarray*}$

[...]

vielleicht deshalb ?

31.07.2013, 08:32

Huggy

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RE: Extrema unter Nebenbedingung
Das sollte deine Frage beantworten. Trotzdem noch mal allgemein: Man hat eine Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , deren Extrema gesucht sind, und dazu eine oder mehrere Nebenbedingungen in der Form $\begin{eqnarray*} g_i=0 \end{eqnarray*}$ . Dann lautet die Lagrangefunktion

$\begin{eqnarray*} L=f+ \sum_i \lambda_i g_i \end{eqnarray*}$

oder alternativ

$\begin{eqnarray*} L=f- \sum_i \lambda_i g_i \end{eqnarray*}$

Das ändert nur das Vorzeichen der Multiplikatoren, hat aber keinen Einfluss auf die Extrema.

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