Extrema unter Nebenbedingung

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Alexandra Ardanex Auf diesen Beitrag antworten »
Extrema unter Nebenbedingung
Meine Frage:
Recht guten Morgen an alle Matheverehrer & Verehrerinnen.

Berechnen Sie mittels der Theorie der Extrema unter Nebenbedingungen das Maximum und das Minimum der Funktion mit auf der Menge



Meine Ideen:
Für Extrema



Dort soll ein LGS herauskommen und ich weiß nicht wie ich das aufstellen soll.

Mögliche Extrema sind jedenfalls:




Es gibt




Dankend grüßt Eure Alex
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Dann fang doch erst einmal mit der Berechnung der drei Gradienten an.
 
 
Alexandra Ardanex Auf diesen Beitrag antworten »

Aber dann muss ich erst die "linke Seite" auf die rechte herüberbringen d.h.

und davon jetzt jeweils den Gradienten?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Drei Gradienten? Ich denke, da gibt's eine Verwechslung mit den Richtungsableitungen bzw. partiellen Ableitungen?

EDIT: Stimmt doch, entschuldige bitte, helferlein, das hat man tatsächlich dann zu tun, falls die Lösbarkeitsbedingung zu untersuchen ist.

Es soll wohl DER Gradient berechnet werden.
_____________

Und im Übrigen, setze zuerst die Lagrangefunktion an, bevor du die partiellen Ableitungen bildest:



Ein LGS ergibt sich nicht ganz, denn nur die ersten 2 Gleichungen sind linear, die dritte ist quadratisch. Die angegebenen Lösungen ergeben sich damit.

mY+
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

@Wir haben drei Funktionen, also auch drei Gradienten
Es sind die Ableitungen von der Funktion und den zwei Nebenbedingungen zu bilden.

Edit:Oder halt den Gradienten der Lagrange-Funktion, ok.
Alexandra Ardanex Auf diesen Beitrag antworten »

Ja der Gradient mit den drei partiellen Ableitungen. Lagrange Funktion? Wieso soll ich die 's da einsetzen? Ich verstehe auch nicht wie ich das LGS aufstellen soll.
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Du brauchst zunächst einmal die Funktion selber und zwei Funktionen , die jeweils zu einer der beiden(!) Nebenbedingungen Null werden.
Du hast die Nebenbedingungen einfach zusammengefügt, was uns aber nicht weiterbringt. Bestimme eine Funktion, die für alle Lösungen der Nebenbedingung den Wert Null annnimmt. Das ist vermutlich so einfach, dass Du es übersiehst.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Mit welcher Methode denn willst du die Extrema berechnen?
Es gibt eben dazu die Methode der Lagrange-Multiplikatoren, diese Faktoren sind die Lambdas.
Je angegebener Nebenbedingung brauchst du eines. Da es deren zwei gibt, führen wir auch zwei Lambdas ein.



In den Klammern stehen die beiden (auf Null gebrachten!) Nebenbedingungen.
Jetzt können die drei partiellen Ableitungen (nach x, y, z) berechnet und Null gesetzt werden, das macht zunächst drei Gleichungen. Die beiden Nebenbedingungen sind nochmals zwei Gleichungen.
Damit können wir nun alle Unbekannten ermitteln.

Tipp: Die Lambdas lassen sich sofort leicht eliminieren, somit bleibt zum Schluss ein Gleichungssystem in x, y, z, welches ebenfalls leicht gelöst werden kann.

mY+
Alexandra Ardanex Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Helferlein
Du brauchst zunächst einmal die Funktion selber und zwei Funktionen , die jeweils zu einer der beiden(!) Nebenbedingungen Null werden.

Okay.
Zitat:
Original von Helferlein
Du hast die Nebenbedingungen einfach zusammengefügt, was uns aber nicht weiterbringt. Bestimme eine Funktion, die für alle Lösungen der Nebenbedingung den Wert Null annimmt. Das ist vermutlich so einfach, dass Du es übersiehst.

In der Tat verwirrt . So ist das wenn man eine "Musterlösung" vorgerechnet bekommt und nicht mal Fragen stellen kann... Ich verstehe auch nicht so recht den Zusammenhang zwischen der Funktion und der Menge, bzw. was mir das sagt.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

@Helferlein
Nachdem du wieder ON bist, räume ich das Feld.
Ich hatte auch deswegen den Thread übernommen, weil die Fragestellerin auf völlig falschem Weg war und auch weil von 3 Gradienten die Rede war [EDIT] , was m. E. so nicht richtig ist.

mY+

P.S.:
Anyway, so etwas löst man, wie gesagt, am einfachsten mittels der Lagrange-Methode. Dabei behält man die Übersicht über die zahlreichen Beziehungen.
Alexandra Ardanex Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe einfach kein Verständnis dafür irgendwie unglücklich . Im Wikipediaartikel ist ein Beispiel im zweidimensionalen, das sollte sich ja von meinem nicht großartig unterscheiden, aber naja.
Zitat:
Original von mYthos


In den Klammern stehen die beiden (auf Null gebrachten!) Nebenbedingungen.
....
Tipp: Die Lambdas lassen sich sofort leicht eliminieren, somit bleibt zum Schluss ein Gleichungssystem in x, y, z, welches ebenfalls leicht gelöst werden kann.


Also so : ?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

ja, das ist die richtige Lagrange-Funktion
Alexandra Ardanex Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mYthos
Jetzt können die drei partiellen Ableitungen (nach x, y, z) berechnet und Null gesetzt werden, das macht zunächst drei Gleichungen. Die beiden Nebenbedingungen sind nochmals zwei Gleichungen.
Damit können wir nun alle Unbekannten ermitteln.

Tipp: Die Lambdas lassen sich sofort leicht eliminieren, somit bleibt zum Schluss ein Gleichungssystem in x, y, z, welches ebenfalls leicht gelöst werden kann.






Hm aber wie bestimme ich den Rest verwirrt
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Im Zweidimensionalen sieht die Sache dann anders aus, wenn sich die gegebene Nebenbedingung (explizit) nach einer Variablen umstellen lässt und diese dann in die Hauptbedingung eingesetzt werden kann. Das ist der klassische Fall der Extremwertberechnung.
Das könnte man auch auf mehr Variablen (und damit auch mehrere Nebenbedingungen) ausdehnen, wenn die Nebenbedingungen nicht allzu umfangreiche Gleichungen sind. Hier wird es wegen der einen quadratischen Nebenbedingung eher kompliziert, es führt dann auf eine Wurzel.
Ob es dennoch so funktioniert, habe ich noch nicht versucht, das kannst ja du einmal machen.

Deswegen war eher der Weg über Lagrange angedacht. Hast du dieses Verfahren nicht schon kennengelernt?

--> http://de.wikipedia.org/wiki/Lagrange-Multiplikator

--> http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/in...ung/loesung812/

--> http://stubber.math-inf.uni-greifswald.d...-methode-II.pdf

Der letzte Link ist etwas umfassender, d.h. es wird dort überprüft, ob die Auflösbarkeitsbedingungen gegeben sind. In diesem Fall müssen tatsächlich erst alle Gradienten (jene der gegebenen Funktion und jene der Nebenbedingungen) auf lineare Unabhängigkeit überprüft werden. Offensichtlich hat Helferlein dies gemeint, als er die drei Gradienten genannt hat.

Dein letzter Ansatz passt nun und jetzt bestimme die drei partiellen Ableitungen Lx, Ly und Lz und setze sie Null.
Zusammen mit den Nebenbedingungen bekommst du die bereits genannten Lösungen.
Allerdings ist man damit noch nicht fertig, es ist nun noch zu überprüfen, ob und welcher Art ein Extemum vorliegt.

EDIT: Sorry, die letzten Post hatte ich noch nicht gelesen und inzwischen erschien Helferlein auch wieder OFF und jetzt wieder ON.

mY+
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Da fehlen noch die partiellen Ableitungen der . Damit hast Du 5 Gleichungen bei 5 Unbekannten.
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die Ableitungen nach den Lambdas sind obsolet, man kann die Nebenbedingungen direkt einsetzen. Es ist dasselbe und man spart einen Rechenschritt.

Zitat:
Original von mYthos
...
Jetzt können die drei partiellen Ableitungen (nach x, y, z) berechnet und Null gesetzt werden, das macht zunächst drei Gleichungen. Die beiden Nebenbedingungen sind nochmals zwei Gleichungen.
...


mY+
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Natürlich ergibt das die Nebenbedingungen, so ist die Lagrange-Funktion ja gerade aufgebaut. Ich wollte aber, dass Alexandra das selber erkennt.
Weiter im Text...
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

So weit, so klar. Ich verabschiede mich jetzt, ein Helfer(lein) reicht ja .. Big Laugh
Schönen Tag noch ...

mY+
Alexandra Ardanex Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß gar nicht ob ich's hatte. Ich gerate momentan einfach an meine Grenzen nach ständigem Lernen (1Monat) für diverse Klausuren ist meine Ausdauer und jegliches Kontingent für Verständnis wohl ausgeschöpft.

Zitat:
Original von mYthos
Der letzte Link ist etwas umfassender, d.h. es wird dort überprüft, ob die Auflösbarkeitsbedingungen gegeben sind. In diesem Fall müssen tatsächlich erst alle Gradienten (jene der gegebenen Funktion und jene der Nebenbedingungen) auf lineare Unabhängigkeit überprüft werden. Möglicherweise hat Helferlein dies gemeint, als er die drei Gradienten genannt hat.

Dein letzter Ansatz passt nun und jetzt bestimme die drei partiellen Ableitungen Lx, Ly und Lz und setze sie Null.
Zusammen mit den Nebenbedingungen bekommst du die bereits genannten Lösungen.
Allerdings ist man damit noch nicht fertig, es ist nun noch zu überprüfen, ob und welcher Art ein Extremum vorliegt.


Ich verstehe gerade nicht, ich habe doch differenziert. Aus der letzten Gleichung erhalte ich ja was, aber ich kann es dann ja in die erste Gleichung einsetzen aber erhalte kein Resultat sondern nur ein Verhältnis. Ich verstehe nicht wie ich jetzt die Nebenbedingungen da nochmals einbeziehen soll? Das habe ich doch schon mittels der Lagrangefunktion getan oder nicht?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, hast Du nicht. Du hast die Nebenbedingungen zwar in die Lagragefunktion eingebaut, aber mehr auch nicht. Du musst sie auch noch nutzen.

Wenn Du entweder alle partiellen Ableitungen aufschreibst, wie von mir vorgeschlagen, oder neben den drei Ableitungen in x,y,z-Richtung noch die beiden Nebenbedingungen nutzt, dann hast Du die nötigen fünf Gleichungen zur Bestimmung der möglichen lokalen Extremstellen. Diese musst Du dann noch mittels hinreichender Bedingung (Hesse-Matrix)prüfen.
Alexandra Ardanex Auf diesen Beitrag antworten »

Den Post habe ich eben gar nicht gesehen.

Zitat:
Original von Helferlein
Da fehlen noch die partiellen Ableitungen der . Damit hast Du 5 Gleichungen bei 5 Unbekannten.

Aber welche sind das, ich sehe die nicht?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Lagrangefunktion hat 5 Variablen: ,
Also gibt es auch 5 partielle Ableitungen, die alle Null sein müssen. (notwendige Bedingung)
Alexandra Ardanex Auf diesen Beitrag antworten »







Das wären jetzt alle?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

ja, das sind die fünf Ableitungen, die alle gleichzeitig Null sein müssen, damit ein lokales Extrem unter den gegebenen Nebenbedingungen vorliegen kann.

Der nächste Schritt ist das Lösen dieses Systems. (Bin allerdings wieder ne Weile off, so dass die Antworten etwas dauern könnten)
Alexandra Ardanex Auf diesen Beitrag antworten »

Nunja unglücklich ich habe große Probleme das LGS zu lösen. Ich habs mal irgendwie probiert aus der letzten Zeile. Wenn dann ist auch . Dann folgt aus der vorletzten Zeile, dass
Dann erhalte ich wiederum aus der zweiten Zeile, dass usw. stimmt das?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Die Rechnung stimmt, aber es nützt nichts, auf gut Glück etwas für x (oder eine der anderen Variablen) zu raten. In den meisten Fällen wirst Du am Ende feststellen, dass dein Ansatz keine Lösung liefert.

Gehe systematisch vor: Was kannst Du aus der letzten Gleichung für z folgern? Danach kannst Du aus den ersten beiden Gleichungen einen Zusammenhang zwischen x und y herstellen, den Du schließlich mit der vierten Gleichung nutzen kannst, um x (oder alternativ y) zu bestimmen.
Alexandra Ardanex Auf diesen Beitrag antworten »

Ja. Ich habe es aber in einer anderen Aufgabe als Musterlösung gesehen, so eine Argumentation.

Aus der letzten Zeile folgt

Aus der zweiten Zeile folgt

Dann aus der ersten

Eingesetzt in die vorletzte Zeile

Dann erhalte ich für mein




somit habe ich alles bestimmt. Die Probe hat funktioniert. So was habe ich aber jetzt davon? Und was muss ich jetzt mit der Hessematrix machen? (Die besteht ja aus den zweiten partiellen Ableitungen)
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst zum Formalen:
In der ersten Zeile ist das 'oder' zwar nicht falsch, aber überflüssig.
In der zweiten Zeile setzt Du voraus, was zwar richtig ist, an der Stelle aber noch nicht klar.
In der vierten Zeile unterschlägst Du die zweite Lösung.

Die Lösungen der notwendigen Bedingung setzt Du nun in die Hessematrix ein und schaust, ob sie positiv definit ist.
Pauline21 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Helferlein
Zunächst zum Formalen:
In der ersten Zeile ist das 'oder' zwar nicht falsch, aber überflüssig.
In der zweiten Zeile setzt Du voraus, was zwar richtig ist, an der Stelle aber noch nicht klar.
In der vierten Zeile unterschlägst Du die zweite Lösung.

Hm verwirrt

Zitat:
Original von Helferlein
Die Lösungen der notwendigen Bedingung setzt Du nun in die Hessematrix ein und schaust, ob sie positiv definit ist.

Hm welche notwendige Bedingungen? Die Hessematrix aus den notwendigen Bedingungen?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Ist Pauline=Alexandra?
Wenn ja, dann bitte einen Account löschen lassen.

Zur Frage: Die Hessematrix ist funktionsabhängig.
Wir interessieren uns aber nur für die kritischen Stellen, also die Lösungen des GS, wie oben schon ermittelt.
Diese beidem Punkte setzt Du in die Hessematrix ein.
Alexandra Ardanex Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Helferlein
Ist Pauline=Alexandra?[quote]
Ist eine Mitstudentin.

[quote]Original von Helferlein
Zur Frage: Die Hessematrix ist funktionsabhängig.
Wir interessieren uns aber nur für die kritischen Stellen, also die Lösungen des GS, wie oben schon ermittelt.
Diese beidem Punkte setzt Du in die Hessematrix ein.

Ja die Lösungen haben wir ja bestimmt. Aber was mache ich jetzt mit diesen?

Diese beiden Punkte setze ich in die Hesse-Matrix? Wir haben doch 4 Lösungen? Aber man bildet ja die zweiten Ableitungen der Hesse-Matrix? Wie soll ich denn Ableitungen von Punkten berechnen, diese sind ja Null.
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Wo habe ich etwas von der Ableitung eines Punktes geschrieben?
Du bildest erst die Hessematrix, welche sich aus der Funktion ergibt und somit x, y und z enthalten wird. Danach setzt Du den ersten Punkt ein und prüfst auf positive Definitheit. Das ganze machst Du dann noch für den zweiten Punkt.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Helferlein
Du bildest erst die Hessematrix, welche sich aus der Funktion ergibt und somit x, y und z enthalten wird. Danach setzt Du den ersten Punkt ein und prüfst auf positive Definitheit.

Einspruch!
Es gibt 2 zu betrachtende Funktionen, nämlich die Funktion , deren Extrema unter Nebenbedingungen gesucht sind, und die Lagrangefunktion , die zusätzlich die Lagrangemultiplikatoren enthält.

Die Hessematrix von sagt nur etwas über eventuelle Extrema von f ohne Nebenbedingungen aus. Für die Extrema von unter Nebenbedingungen ist sie irrelevant.

Die Hessematrix von kann herangezogen werden, wobei die L-Multiplikatoren als zusätzliche Variablen zu betrachten sind. Im vorliegenden Beispiel ergibt das eine 5x5-Matrix. Diese Matrix wird üblicherweise als geränderte Hessematrix bezeichnet. Es muss aber beachtet werden, dass die Kriterien für das Vorliegen von Extrema andere sind als bei Extrema ohne Nebenbedingungen. Bei Extrema ohne Nebenbedingungen entscheidet die Definitheit der Hessematrix von . Bei Extrema unter Nebenbedingungen entscheidet dagegen die Vorzeichenreihenfolge der führenden Hauptminoren der geränderten Hessematrix. Man kann das z. B. hier nachlesen:

http://www.uni-marburg.de/fb02/statistik...pt/lagrange.pdf

Satz 2.2 behandelt den Fall einer Nebenbedingung, Satz 2.4 den Fall mehrerer Nebenbedingungen. Da das Verfahren recht schnell ziemlich komplex wird, empfiehlt es sich, auch nach anderen Methoden Ausschau zu halten um zu entscheiden, ob Extrema vorliegen und falls ja, welcher Art sie sind. Im vorliegenden Beispiel ist das ganz einfach möglich.
Alexandra Ardanex Auf diesen Beitrag antworten »

Musst das alles immer so kompliziert sein unglücklich Ich kann dem Ganzen nicht mehr folgen. Ich bin ja momentan an dem Punkt die Lösungen des LGS wurden gefunden. Was prüfe mache ich jetzt noch? Satz 2.2. aus dem Anhang verstehe ich nicht, deswegen weiß ich nicht wie ich diese Hessedeterminanten berechnen soll. In der Musterlösung wurde von solch einem Konstrukt auch nicht erwähnt. Also in der "Musterübung" - dem Vorrechnen.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe natürlich keine Ahnung, wie in der Musterlösung argumentiert wurde. Ich würde so argumentieren: Aus dem Gleichungssystem ergaben sich 2 kritische Punkte. Es sind tatsächlich nur 2, nicht 4. Die Nebenbedingungen definieren eine geschlossene Kurve im . Die Funktion f ist eine stetige Funktion. Eine auf einer geschlossenen Kurve definierte stetige Funktion hat dort immer mindestens ein Maximum und mindestens ein Minimum. Da nur 2 kritische Punkte gefunden wurden, ist der eine das Maximum und der andere das Minimum. Man braucht die beiden Punkte nur in f einzusetzen, um zu sehen, welcher das Maximum und welcher das Minimum ergibt.
Alexandra Ardanex Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extrema unter Nebenbedingung
Zitat:
Original von Alexandra Ardanex
Für Extrema



Dort soll ein LGS herauskommen und ich weiß nicht wie ich das aufstellen soll.

Mögliche Extrema sind jedenfalls:




Es gibt




Das ist die Musterlösung. Für weitere Schritte reichte die Zeit nicht und Fragen durfte man anhand des Zeitdrucks auch nicht stellen.

Wie Punkt zu Stande kommt habe ich ja ermittelt, woher wissen wir noch Punkt ? Naja und was ist mit der Hessematrix? Ob Max oder Min ist sieht man doch anhand dessen ob der Wert eingesetzt in die Ausgangsfunktion größer oder kleiner Null ist?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extrema unter Nebenbedingung
Bei der Auflösung des Gleichungssystem war eine quadratische Gleichung zu lösen. Die führte für x bzw. y zu 2 Lösungen, je nachdem ob man nach x oder y aufgelöst hat. In Abhängigkeit dieser beiden Lösungen stehen dann alle anderen Werte eindeutig fest.

Die Hessematrix von f nützt nichts, wie ich oben schon sagte, weil noch Nebenbedingungen vorliegen. Da es aber ein Minimum und ein Maximum geben muss (siehe mein obiges Argument), braucht man nur die beiden Lösungenn in f einzusetzen. Dann sieht man doch, welche das Minimum und welche das Maximum von f ergibt.
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Richtigstellung huggy.
Das Thema liegt bei mir ein wenig zurück, so dass ich den zweiten Teil leider falsch angehen wollte. Sorry für die Verwirrung Alexandra.
Alexandra Ardanex Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extrema unter Nebenbedingung
Zitat:
Original von Helferlein
Danke für die Richtigstellung huggy.
Das Thema liegt bei mir ein wenig zurück, so dass ich den zweiten Teil leider falsch angehen wollte. Sorry für die Verwirrung Alexandra.

Schon oki Augenzwinkern
Zitat:
Original von Huggy
Bei der Auflösung des Gleichungssystem war eine quadratische Gleichung zu lösen. Die führte für x bzw. y zu 2 Lösungen, je nachdem ob man nach x oder y aufgelöst hat. In Abhängigkeit dieser beiden Lösungen stehen dann alle anderen Werte eindeutig fest.

Hm zu zwei Lösungen? Ich habe ja eben die genannte Lösung erwähnt also . Das meinst du doch? Nur wie man auf die andere jetzt kommt? verwirrt
"In Abhängigkeit dieser beiden Lösungen stehen dann alle anderen Werte eindeutig fest."
Könntest du mir des bitte vielleicht in Zahlen hinschreiben.

Zitat:
Original von Huggy
Die Hessematrix von f nützt nichts, wie ich oben schon sagte, weil noch Nebenbedingungen vorliegen. Da es aber ein Minimum und ein Maximum geben muss (siehe mein obiges Argument), braucht man nur die beiden Lösungenn in f einzusetzen. Dann sieht man doch, welche das Minimum und welche das Maximum von f ergibt.

Das mit der Hessematrix raffe ich einfach nicht zu was die nutzvoll ist.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extrema unter Nebenbedingung
Du warst doch auf die Gleichung



gekommen. Daraus folgt



Du hast nur angegeben.


Und jetzt schreibe ich es zum 3. mal: Die Hessematrix von f nützt hier nichts. Vielleicht bist du so nett und liest den Satz mal, statt dauern neu zu fragen, was sie dir nützt. Die geränderte Hessematrix solltest du vergessen, da ihr das noch nicht hattet.
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