Stetigkeit und Beschränktheit linearer Abbildungen

27.07.2013, 12:13

Essah

Stetigkeit und Beschränktheit linearer Abbildungen

Meine Frage:
Hat jemand eine anschauliche Erklärung wieso gilt: "Eine lineare Abbildung ist beschränkt genau dann, wenn sie stetig ist."

Vielen Dank

Meine Ideen:
Macht meiner Meinung nach keinen Sinn. Die Funktion f(x)=x ist
(1) stetig
aber
(2) nicht beschränkt

Bitte um Aufklärung!

27.07.2013, 13:08

Guppi12

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Da hast du was falsch verstanden. Mit beschränkt ist hier nicht gemeint, dass die Menge der Funktionswerte beschränkt ist. Ein linearer Operator heißt beschränkt, wenn seine Norm (bezüglich der Operatornorm) endlich ist.

Lies dir dazu mal durch, was die Operatornorm ist. In deinem Fall berechnet sie sich durch:

$\begin{eqnarray*} \sup\limits_{|x| = 1}(|f(x)|) \end{eqnarray*}$ . Das ist in diesem Fall gleich $\begin{eqnarray*} \sup(\{|f(1)|, |f(-1)|\}) = 1 < \infty \end{eqnarray*}$ .

Die Operatornorm von der Identität ist also endlich, also ist die Identität stetig.

27.07.2013, 13:41

Essah

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Ok, das erklärt es.

Kannst du zum Beispiel eine Abbildung angeben die bzgl. der Operatornorm nicht endlich ist?

Ist denn eine lineare Funktion nicht stets auch ein Operator? Beschränktheit bei Funktionen meint doch, dass der Wertebereich beschränkt íst... Lässt sich dass irgendwie unter einen Hut bringen oder beschreibt Beschränktheit hier einfach unterschiedliche Éigenschaften?

27.07.2013, 13:46

Che Netzer

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Zitat:

Original von Guppi12
Ein linearer Operator heißt beschränkt, wenn seine Norm (bezüglich der Operatornorm) endlich ist.

Allgemein kann man eine Abbildung auch beschränkt nennen, wenn sie beschränkte Mengen auf beschränkte Mengen abbildet (das ist dann natürlich etwas anderes als die Beschränktheit des Bildes). Für lineare Abbildungen (zwischen normierten Vektorräumen) ist das wieder dasselbe wie Stetigkeit bzw. die Beschränktheit der Operatornorm.

27.07.2013, 13:55

Guppi12

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Zitat:

Kannst du zum Beispiel eine Abbildung angeben die bzgl. der Operatornorm nicht endlich ist?

Edit: Siehe zuerst Che's Beitrag einen weiter unten. Danke für den Hinweis.

Nimm dir beispielsweise den Vektorraum der beliebig oft differenzierbaren Funktionen von $\begin{eqnarray*} (0, 1) \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , ausgestattet mit der Supremumsnorm. Als lineare Abbildung nehmen wir den Differentialoperator $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} \end{eqnarray*}$ .
Sei nun $\begin{eqnarray*} f: (0,1)\to\mathbb R, x\mapsto sin(\frac{1}{x}) \end{eqnarray*}$ . Versuche mal mit Hilfe von f selbst zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} \end{eqnarray*}$ nicht beschränkt ist.

27.07.2013, 14:06

Che Netzer

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Zitat:

Original von Guppi12
Nimm dir beispielsweise den Vektorraum der beliebig oft differenzierbaren Funktionen von $\begin{eqnarray*} (0, 1) \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , ausgestattet mit der Supremumsnorm.

Das ist keine Norm auf diesem Raum Augenzwinkern

27.07.2013, 14:09

Guppi12

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Ups, das ist natürlich richtig Big Laugh

Ok, nehmen wir den Vektorraum der beliebig oft diff'baren Funktionen von $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit der Supremumsnorm und als Operator wieder das gleiche wie oben. Betrachte nun die Polynomfunktionen $\begin{eqnarray*} f_n : [0,1] \to \mathbb R, x\mapsto x^n \end{eqnarray*}$ . Offenbar gilt $\begin{eqnarray*} ||f_n||_\infty = 1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , aber $\begin{eqnarray*} ||\frac{d}{dx}x^n||_\infty = n \end{eqnarray*}$ .

27.07.2013, 14:34

Essah

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Dann ist der Differentialoperator nicht stetig auf dem Raum der beliebig oft differenzierbaren Funktionen von (0,1) in die Reelen Zahlen , da er z.B. für die Polynomfunktionen, die in diesem Raum enthalten sind, eine unbeschränkte Operatornorm hat.

Wäre das die korrekte Aussage?

27.07.2013, 14:41

Guppi12

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Hmm, da ist ein bisschen unpräzise. Zunächst einmal kann man mein erstes Beispiel tatsächlich nicht verwenden, da das Supremum der Funktionswerte einer Funktion auf $\begin{eqnarray*} C^\infty((0,1)) \end{eqnarray*}$ keine Norm definiert.

Bei meinem zweiten Beispiel wird $\begin{eqnarray*} (C^\infty([0,1]), ||.||_\infty) \end{eqnarray*}$ betrachtet.

Dieser Teil hier

Zitat:

da er z.B. für die Polynomfunktionen, die in diesem Raum enthalten sind, eine unbeschränkte Operatornorm hat.

ist auch etwas kritisch. Denn die Operatornorm ist ja nicht unterschiedlich, wenn ich verschiedene Klassen von Funktionen betrachte. Man könnte sagen, dass man die Polynomfunktionen nutzen kann, um zu zeigen, dass die Operatornorm des betrachteten Operators nicht endlich ist. Ansonsten stimmt es.

27.07.2013, 14:49

Essah

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"Denn die Operatornorm ist ja nicht unterschiedlich, wenn ich verschiedene Klassen von Funktionen betrachte"

-> Aber der Wert der Norm, oder?

Nur so: Wäre es bzgl. der Supremusmnorm nicht egal ob man (0,1) oder [0,1] betrachtet?

27.07.2013, 15:01

Guppi12

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Zitat:

-> Aber der Wert der Norm, oder?

Nein. Die Operatornorm einer linearen Abbildung hat einen einzigen festen Wert. Was du meinst, ist dass (jetzt mal speziell in unserem Beispiel) der Wert $\begin{eqnarray*} ||\frac{d}{dx}f||_\infty \end{eqnarray*}$ verschiedene Werte annimmt. Das ist aber nicht die Operatornorm. Die Operatornorm ist das Supremum aller dieser Werte für Funktionen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} ||f||_\infty = 1 \end{eqnarray*}$ . Und dieser Wert ist fest.

Zitat:

Nur so: Wäre es bzgl. der Supremusmnorm nicht egal ob man (0,1) oder [0,1] betrachtet?

Nein. Auf [0,1] kann es keine unbeschränken stetigen Funktionen geben, auf (0,1) aber schon. Deswegen bildet die Supremumsnorm für Funktionen in (0,1) nicht unbedingt nach $\begin{eqnarray*} \mathbb R_{\geq 0} \end{eqnarray*}$ ab, wie es für eine Norm gefordert ist.

27.07.2013, 16:15

Essah

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Ok.

Zitat:

Auf [0,1] kann es keine unbeschränken stetigen Funktionen geben, auf (0,1) aber schon.

Widerspricht das nicht der Ausgangsaussage:

"Eine lineare Abbildung ist beschränkt genau dann, wenn sie stetig ist." ?

27.07.2013, 16:22

Guppi12

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Herrje, so entstehen Missverständnisse. In diesem Fall meinte ich tatsächlich die Beschränktheit des Bildbereichs. Tut mir Leid, das hätte ich klarere raustellen sollen.

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