Reihenwert

27.07.2013, 15:07

yahuu14

Reihenwert

Wie kann ich den Wert von

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=2}^\infty\left(\frac{5}{6} \right)^ksin\left(\frac{\pi k}{3} \right) \end{eqnarray*}$

bestimmen? Als Tipp wurden mit Komplexe Zahlen gegeben. Habe aber keine Ahnung wie.

27.07.2013, 15:11

Che Netzer

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RE: Reihenwert
Du kannst $\begin{eqnarray*} \sin\left(\frac{\pi k}3\right)=\operatorname{Im}(\mathrm e^{\mathrm i\frac{\pi k}3}) \end{eqnarray*}$ schreiben und den Imaginärteil vor die Summe ziehen (denn der ist additiv und reell-linear).

01.08.2013, 13:28

Yahuu14

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Hi,

bin jetzt bei

$\begin{eqnarray*} Im(\sum\limits_{k=2}^\infty(\frac{5}{6}* e^{\frac{i\pi }{3} } )^{k} ) \end{eqnarray*}$

Jetzt wird hier nach Beispielaufgabe (Eine andere) Ein etwas verwirrender Bruch gebildet. Wie würdest du denn weiter gehen `?

01.08.2013, 13:40

HAL 9000

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Ich nehme an, dieser "verwirrende Bruch" ist der Reihenwert der vorliegenden geometrischen Reihe: Es ist

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=k_0}^{\infty} q^k = \frac{q^{k_0}}{1-q} \end{eqnarray*}$

für beliebige komplexe $\begin{eqnarray*} |q|<1 \end{eqnarray*}$ und ganze Zahlen $\begin{eqnarray*} k_0 \end{eqnarray*}$ . Hier angewandt auf $\begin{eqnarray*} q = \frac{5}{6} e^{\frac{i\pi}{3}} \end{eqnarray*}$ und Startindex $\begin{eqnarray*} k_0=2 \end{eqnarray*}$ .

01.08.2013, 13:48

Yahuu14

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Hi, stimmt scheint in die Richtung geometrische Reihe zu gehen, aber hier bei der Beispielaufgabe folgt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty\left(\frac{2}{3} \right)^kcos\left(\frac{\pi k}{3} \right) =Re( \frac{((2/3)e^{i\pi/3)^{n+1} }-(2/3)e^{i\pi /3} }{1-(2/3)exp(i\pi /3)} \end{eqnarray*}$

Wieso das n+1 und die Subtraktion im Zähler ?

01.08.2013, 13:50

HAL 9000

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Zitat:

Original von Yahuu14
Wieso das n+1 und die Subtraktion im Zähler ?

Stand links wirklich die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \end{eqnarray*}$ und nicht doch eher die endliche Summe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \end{eqnarray*}$ ?

Schließlich ist $\begin{eqnarray*} \sum_{k=k_0}^n q^k = \frac{q^{k_0}-q^{n+1}}{1-q} \end{eqnarray*}$ .

Wie auch immer, zusätzlich ist noch ein Vorzeichenfehler in dieser Gleichung: Der gesamte Term rechts muss negiert werden.

01.08.2013, 13:54

Yahuu14

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Da steht Unendlich, auch auf dem Aufgabenblatt, aber

mir fällt gerade auf dass beim Rechnen der Endindex n lautet. Habe ich gerade erst bemerkt!

01.08.2013, 14:11

Yahuu14

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Bist du sicher das dort ein Vorzeichenfehler ist? Was muss negiert werden ? Du meinst wohl den Zähler oder was ist mit rechts zu verstehen?

01.08.2013, 14:32

Yahuu14

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Hier bei der Beispielaufgabe wird weiterzusammengefasst und es so gelassen wie ich es genannt habe ...

Bist du dir ganz sicher mit den Vorzeichen deiner genannten Formel?

01.08.2013, 16:22

HAL 9000

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Ja, ich bin sicher: Setz doch z.B. mal n=1 ein: Dann muss links wie rechts (nach Kürzen) der Wert

$\begin{eqnarray*} \frac{2}{3} \cos\left(\frac{\pi}{3} \right) = Re\left( \frac{2}{3} e^{\frac{\pi}{3} i} \right) \end{eqnarray*}$

erscheinen, und bei deiner Formel steht rechts aber $\begin{eqnarray*} Re\left( -\frac{2}{3} e^{\frac{\pi}{3} i} \right) \end{eqnarray*}$ . (Statt selbst mal nachzurechnen, muss ich mir hier den Mund fusslig reden, bevor mir mal was abgenommen wird. unglücklich

)

01.08.2013, 16:39

Yahuu14

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Dann hat wohl unser Dr. Übungsleiter einen gravierenden Fehler gemacht den niemand bemerkt hat. Freude

Jetzt folgt nach der ,,alternativen(Richtig)?" Formel der Geometrischen Reihe:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty\left(\frac{2}{3} \right)^kcos\left(\frac{\pi k}{3} \right) =Re( \frac{(-(2/3)e^{i\pi/3)^{n+1} }+(2/3)e^{i\pi /3} }{1-(2/3)exp(i\pi /3)} \end{eqnarray*}$

Wenn das richtig ist, hier wird danach der lim gegen unendlich berechnet wobei der negative Term im Zähler verschwindet. Wieso verschwindet er und wieso betrachte ich den denn limes des Realteils? Hier wird das Summenzeichen jetzt komplett weggelassen.

Als Endergebnis steht hier nach Übungsleiter:

Re(((-2/3)e^{ipi/3}/(1-(2/3)e^{ipi/3})

Sollte aber falsch sein?

01.08.2013, 17:33

HAL 9000

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Zitat:

Original von Yahuu14
Wieso verschwindet er

Machen wir jetzt hier eine Schulwiederholung zu geometrischen Folgen und Reihen... Seufz:

Es ist $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} q^n = 0 \end{eqnarray*}$ im Fall $\begin{eqnarray*} |q|<1 \end{eqnarray*}$ , und jetzt bitte kein "warum?", sondern das überlegst du dir selbst!

Zitat:

Original von Yahuu14
und wieso betrachte ich den denn limes des Realteils?

Weil bekanntlich $\begin{eqnarray*} e^{\varphi i} = \cos(\varphi) + i\sin(\varphi) \end{eqnarray*}$ ist (Eulersche Formel), woraus ja

$\begin{eqnarray*} \operatorname{Re}\left( e^{\varphi i} \right) = \cos(\varphi) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \operatorname{Im}\left( e^{\varphi i} \right) = \sin(\varphi) \end{eqnarray*}$

folgt.

Zitat:

Original von Yahuu14
Als Endergebnis steht hier nach Übungsleiter:

Re(((-2/3)e^{ipi/3}/(1-(2/3)e^{ipi/3})

Das als "Endergebnis" zu bezeichnen, ist schon ein starkes Stück. Augenzwinkern

Angesichts von $\begin{eqnarray*} e^{i\frac{\pi}{3}} = \frac{1+i\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$ würde ich hier vom Studenten eine angemessene Vereinfachung dieses Terms einfordern, ehe ich es als Ergebnis akzeptiere. Das falsche Vorzeichen ist konsequenterweise immer noch da (den Hinweis gebe ich jetzt zukünftig auf).

01.08.2013, 17:43

Yahuu14

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Meinst du jetzt das Re(((-2/3)e^{ipi/3}/(1-(2/3)e^{ipi/3}) als Endergebnis falsch ist, weil der Term falsch ist oder noch etwas gemacht werden muss (Diese Lösung stammt vom Übungsleiter). Eventuell jeden Realteil angeben ? Also -2/3*(cos(pi/3))/(1-(2/3)*cos(pi/3))

Es steht noch darunter das für a ungleich 1: Reihe mit Startindex k=1 bis n a^k = (a^(n+1)-a)/(1-a)

Aber das ist ja einfach nur das was wir vorhin angewendet haben. Also was ist an der Lösung falsch abgesehen vom Term ?

01.08.2013, 17:48

Yahuu14

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Ich werde das ganze jetzt auf die Ausgangsreihe anwenden und dann das Ergebnis posten. Danke nochmals!

01.08.2013, 17:50

Che Netzer

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Zitat:

Original von Yahuu14
Eventuell jeden Realteil angeben ? Also -2/3*(cos(pi/3))/(1-(2/3)*cos(pi/3))

Und der Realteil von $\begin{eqnarray*} \frac{\mathrm i}{\mathrm i} \end{eqnarray*}$ ist dann also $\begin{eqnarray*} \frac00 \end{eqnarray*}$ und nicht Eins?

01.08.2013, 17:52

HAL 9000

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Zitat:

Original von Yahuu14
Eventuell jeden Realteil angeben ? Also -2/3*(cos(pi/3))/(1-(2/3)*cos(pi/3))

Die von dir hier soeben angewandte Rechenregel

$\begin{eqnarray*} \operatorname{Re}\left( \frac{z_1}{z_2} \right) \stackrel{?}{=} \frac{\operatorname{Re}\left(z_1\right)}{\operatorname{Re}\left(z_2\right)} \end{eqnarray*}$

solltest du ganz schnell aus deinem Gedächtnis streichen - falscher geht's kaum. geschockt

EDIT: Danke, Che. Könnte etwas nervliche Entlastung hier gebrauchen, bin erstmal weg.

EDIT2: Wieder da. Was ich mit "angemessen" meine: Es ist unter Berücksichtigung von $\begin{eqnarray*} e^{i\frac{\pi}{3}} = \frac{1+i\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$ , sowie mit richtigem Vorzeichen

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{2}{3}e^{i\frac{\pi}{3}}}{1-\frac{2}{3}e^{i\frac{\pi}{3}}} = \frac{1+i\sqrt{3}}{3-(1+i\sqrt{3})} = \frac{(1+i\sqrt{3})(2+i\sqrt{3})}{(2-i\sqrt{3})((2+i\sqrt{3}))} = \frac{-1+i3\sqrt{3}}{7} \end{eqnarray*}$ ,

d.h. eine angemessene Ergebnisangabe wäre in meinen Augen

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} \left(\frac{2}{3} \right)^k \cos\left(\frac{\pi k}{3} \right) = -\frac{1}{7} \end{eqnarray*}$

gewesen anstelle von diesem Gewurstel Re(((2/3)e^{ipi/3}/(1-(2/3)e^{ipi/3}).

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