Mengen in der Gaußschen Zahlenebene bestimmen

27.07.2013, 18:34

küb

Mengen in der Gaußschen Zahlenebene bestimmen

Meine Frage:
Hallo Leute,

ich komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:

Bestimmen und skizzieren Sie folgende Mengen in der Gaußschen Zahlenebene:

a) $\begin{eqnarray*} A = \left\{ z \in C | Im(z) \leq 2 \right\} \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} B = \left\{ z \in C | | z-1 | \leq 2 \right\} \end{eqnarray*}$

c) $\begin{eqnarray*} C = f(A\cap B^{C}) \end{eqnarray*}$ , wobei f: C -> C mit f(z) = konjugierte von z

Meine Frage:

zu a) habe ich $\begin{eqnarray*} y \leq 2 \end{eqnarray*}$

zu b) habe ich $\begin{eqnarray*} -\sqrt{x^{2}+2*x+3 } \leq y \leq \sqrt{x^{2}+2*x+3 } \end{eqnarray*}$

Mein Problem liegt bei c)

Also skizziert sieht die Fläche ja so aus:

Aus der gesamten Fläche, die unterhalb von y=2 liegt wird der Kreis aus b herausgeschnitten. Und dann muss ich diese Fläche an der x-Achse spiegeln, da ja die konjugierte gesucht ist.

Ich dachte, ich kann das vllt so angeben:

$\begin{eqnarray*} C = f( A \ B) \end{eqnarray*}$ , f(z) = z konjugiert

$\begin{eqnarray*} C = \left\{ x \in C | konj.[(x^{2}-2*x +1 +y^{2}] \leq 4) \wedge (y \geq -2 ) \right\} \end{eqnarray*}$

Also das in den eckigen Klammern soll die konjugierte Zahl sein.

Kann ich das so machen? Wenn ja: Ist das jetzt so komplett?
Wenn nein: Wie muss ich vorgehen?

Wäre echt dankbar für eure Hilfe smile

Meine Ideen:

27.07.2013, 19:10

dastrian

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RE: Mengen in der Gaußschen Zahlenebene bestimmen
Hi!

Zitat:

Original von küb

a) $\begin{eqnarray*} A = \left\{ z \in C | Im(z) \leq 2 \right\} \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} B = \left\{ z \in C | | z-1 | \leq 2 \right\} \end{eqnarray*}$

c) $\begin{eqnarray*} C = f(A\cap B^{C}) \end{eqnarray*}$ , wobei f: C -> C mit f(z) = konjugierte von z

Die komplex konjugierte in LaTeX geht mit \overline{z}: $\begin{eqnarray*} \overline{z} \end{eqnarray*}$ , s. auch hier

Zitat:

zu a) habe ich $\begin{eqnarray*} y \leq 2 \end{eqnarray*}$

Du meinst mit z=x+iy, also y ist der Imaginärteil!?! Dann ist das richtig. Hast du es denn in der Gaußschen Ebene skizziert? Weiß du, wie diese Menge aussieht?

Zitat:

zu b) habe ich $\begin{eqnarray*} -\sqrt{x^{2}+2*x+3 } \leq y \leq \sqrt{x^{2}+2*x+3 } \end{eqnarray*}$

Nein! Mach dir das Leben nicht so schwer: erinner dich daran, dass |z-1| anschaulich (und es geht in der Aufgabe ja um Skizzen!) den Abstand von der Variable z zur 1 bezeichnet. Deine Menge B ist also nichts anderes als die Menge aller Punkte, die von dem Punkt 1 einen Abstand kleiner gleich 2 haben - Wie sieht diese Menge aus? Skizziere sie dir! Du brauchst dazu keine weiteren Umformungen.

Zitat:

Mein Problem liegt bei c)

Das dürfte mit Skizze dann kein Problem mehr sein, denn wie du schon sagtest: wenn du $\begin{eqnarray*} A \cap B^C \end{eqnarray*}$ erstmal hast, dann musst du diese Fläche nur noch an der x-Achse spiegeln.

27.07.2013, 19:18

küb

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RE: Mengen in der Gaußschen Zahlenebene bestimmen
zu a) Das ist die gesamte Menge unterhalb von y=2

zu b) Das ergibt ja einen Kreis mit einem Radius kleiner gleich 2

Wir sollen die Menge nicht nur durch skizzieren bestimmen, sondern auch rechnerisch.. Also so wie ich es gemacht hatte für a und b

Und wie gesagt, C wäre dann gespiegelt die Fläche oberhalb von -2, wo der Kreis dann rausgeschnitten wurde..

Jetzt muss ich irgendwie ja auch C rechnerisch bestimmen können.. Aber wie?

27.07.2013, 19:42

dastrian

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RE: Mengen in der Gaußschen Zahlenebene bestimmen
Hi

soweit schonmal richtig.

Zitat:

Original von küb
nicht nur durch skizzieren bestimmen, sondern auch rechnerisch...

Nun gut, ich persönlich halte |z-1|<2 für die "beste" Beschreibung des Kreises mit Radius 2 um die 1. Natürlich kannst du jetzt z=x+yi einsetzen und das ganze Umformen, aber ist

$\begin{eqnarray*} B = \{z=x+yi \in \mathbb{C} : x^2-2x+y^2 < 3\} \end{eqnarray*}$

wirklich schöner oder "rechnerischer"?

Zitat:

Und wie gesagt, C wäre dann gespiegelt die Fläche oberhalb von -2, wo der Kreis dann rausgeschnitten wurde..

Genau!

Zitat:

Jetzt muss ich irgendwie ja auch C rechnerisch bestimmen können.. Aber wie?

Tja... ich würde so was schreiben wie
$\begin{eqnarray*} B = \{z \in \mathbb{C} : \ \ Im(z) . . . \ \ \wedge \ \ |z-1| . . . \ \} \end{eqnarray*}$
wobei du jetzt bei den Pünktchen nur noch die richtigen Ungleichungen einzusetzen brauchst smile

27.07.2013, 20:26

küb

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RE: Mengen in der Gaußschen Zahlenebene bestimmen
Bei den Pünktchen wäre es dann doch nur

Im(z) > -2 und bei l z-1 l </= 2

27.07.2013, 20:32

dastrian

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RE: Mengen in der Gaußschen Zahlenebene bestimmen
$\begin{eqnarray*} Im(z) > -2 \end{eqnarray*}$ stimmt, bei $\begin{eqnarray*} |z-1| \ ... \ 2 \end{eqnarray*}$ denk daran, dass der Kreis ja "herausgenommen" wird.

btw: bei meinem letzten Beitrag muss vor dem letzten Gleichheitszeichen natürlich C und nicht B stehen! sorry

27.07.2013, 20:34

küb

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RE: Mengen in der Gaußschen Zahlenebene bestimmen
Achso, dann

l z-1 l < 2 damit die Werte von A immer noch mit drin sind Big Laugh

27.07.2013, 20:45

dastrian

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RE: Mengen in der Gaußschen Zahlenebene bestimmen
Ne, die Werte von A (komplex konjugiert) sind ja schon durch $\begin{eqnarray*} Im(z) \geq -2 \end{eqnarray*}$ abgedeckt, aber für die Werte vom Komplement der Kreisscheibe brauchen wir ja eben die Punkte,deren Abstand vom Kreismittelpunkt größer ist als der Radius

27.07.2013, 22:22

küb

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RE: Mengen in der Gaußschen Zahlenebene bestimmen
Achsoo,

dann ist l z-1 l > 2

Somit wären die Punkte in der Menge, die sich um den Kreis herum, aber nicht mehr im Kreis befinden.

27.07.2013, 22:26

dastrian

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RE: Mengen in der Gaußschen Zahlenebene bestimmen
Genau, jetzt ham was!
Endergebnis zum Mitschreiben:

$\begin{eqnarray*} C = \{z \in \mathbb{C} : \ Im(z) \geq -2 \ \wedge \ |z-1| > 2 \} \end{eqnarray*}$

27.07.2013, 22:27

küb

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RE: Mengen in der Gaußschen Zahlenebene bestimmen
Super, so hab ichs mir aufgeschrieben.
Danke schöön Wink

28.07.2013, 14:58

Kathi_R

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Hey,

ich weiß, ihr beide seid mit dem Thema eigentlich durch...aber ich hätte trotzdem noch eine Frage dazu. :-/

Und zwar: Menge A sind alle Punkte mit $\begin{eqnarray*} Im(z) \leq 2 \end{eqnarray*}$ .
Menge B ist ein Kreis mit dem Mittelpunkt (1|0) und dem Radius 2.

1.)
Könnte ich das nicht auch so angeben: $\begin{eqnarray*} [z \in {C} \mid \sqrt{x^2+y^2} \leq{2}, -1 \leq{x} \leq{3}, -2 \leq{y} \leq {2}] \end{eqnarray*}$ .

2.)
$\begin{eqnarray*} B^C \end{eqnarray*}$ ist doch genau der gleiche Kreis, da eine Symmetrieachse des Kreises auf der X-Achse liegt. Dann ist dieser Kreis doch genau die Schnittmenge von A und $\begin{eqnarray*} B^C \end{eqnarray*}$ und liegt außerdem auf der x-Achse. Wenn ich den nun genau an dieser x-Achse spiegele, kommt doch genau der gleiche Kreis wieder raus. Demnach müssten die Mengen B und C identisch sein.
Wo liegt denn mein Denkfehler?!

Freue mich über jeden hilfreichen Tip!

Liebe Grüße!

28.07.2013, 23:02

dastrian

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Hallo Kathi!

Zitat:

1.)
Könnte ich das nicht auch so angeben: $\begin{eqnarray*} [z \in {C} \mid \sqrt{x^2+y^2} \leq{2}, -1 \leq{x} \leq{3}, -2 \leq{y} \leq {2}] \end{eqnarray*}$ .

Mit "das" meinst du die Menge B? Dann hast du nicht ganz Recht:
$\begin{eqnarray*} \{ z \in {C} \mid \sqrt{x^2+y^2} \leq 2 \} \end{eqnarray*}$ ist der Kreis vom Radius 2 um den Nullpunkt!
Du meinst wohl:
$\begin{eqnarray*} \{ z \in {C} \mid \sqrt{(x-1)^2+y^2} \leq 2 \} \end{eqnarray*}$ das ist der Kreis vom Radius 2 um den Punkt 1.
Würde man nun schreiben
$\begin{eqnarray*} B = \{z \in {C} \mid \sqrt{(x-1)^2+y^2} \leq{2}, -1 \leq{x} \leq{3}, -2 \leq{y} \leq {2} \} \end{eqnarray*}$
dann wäre das zwar richtig, aber die zweite und dritte Bedingung wäre überflüssig!
(Denn: für alle reellen y ist y^2 größer Null, also kann $\begin{eqnarray*} \sqrt{(x-1)^2}=|x-1| \end{eqnarray*}$ höchstens 2 sein!)

Zitat:

2.)
$\begin{eqnarray*} B^C \end{eqnarray*}$ ist doch genau der gleiche Kreis, da eine Symmetrieachse des Kreises auf der X-Achse liegt.

Ich glaube, du verwechselst das Mengentheoretische Komplement $\begin{eqnarray*} {}^C \end{eqnarray*}$ mit der komlexen Konjugation!?!

30.07.2013, 15:39

Kathi_R

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Ok, ich danke dir!
Und ja, du hattest recht, ich hab $\begin{eqnarray*} B^C \end{eqnarray*}$ falsch gedeutet.
Danke nochmal!

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