Beweis: Stetige Funktion auf kompakter Menge ist gleichmäßig stetig

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PeterH Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis: Stetige Funktion auf kompakter Menge ist gleichmäßig stetig
Meine Frage:
Hallo,

Ich habe eine Frage zu dem Beweis des folgenden Satzes: "Sei ein metrischer Raum. Ferner sei eine stetige Funktion. Ist X kompakt, so ist f bereits gleichmäßig stetig."

Ich habe mir einen Beweis dazu überlegt, von dem ich aber glaube, dass er nicht ganz stichhaltig ist. Kann vielleicht jemand den Beweis auf Richtigkeit überprüfen? Hier ist er:

Sei . Definiere für die Menge . Aufgrund der Stetigkeit von gibt es zu jedem eine Umgebung mit . Dann ist eine offene Überdeckung von . Da kompakt ist, gibt es eine endliche Teilüberdeckung mit endlich. Wähle , dann gilt für bereits .

Kann jemand beurteilen, ob und warum der Beweis falsch ist?

Mit freundlichen Grüßen,
PeterH

Meine Ideen:
dastrian Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: Stetige Funktion auf kompakter Menge ist gleichmäßig stetig
Hi,
ich glaube, bis zu der folgenden Stelle ist alles richtig und geht auch in die richtige Richtung, aber dann hast du dich glaub ich vertan:

Zitat:
Original von PeterH


Das ist doch 0! Denn man kann ja zum beispiel a=b wählen, dann ist d(a,b)=0.
Aber auch wenn man a=b ausschließt, wäre das infimum null.
Ich vermute, du meinst das SUpremum (und dann das Mimimum aller Suprema) und dann wäre dein Beweis richtig und sehr gut (glaub ich)! smile
PeterH Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort. Ich habe tatsächlich sogar Supremum geschrieben, es jetzt nur falsch übertragen. Was mich an dem Beweis stört, ist der letzte Schritt. Ich habe ihn aufgeschrieben, ohne mir genau im klaren darüber zu sein ob (und falls ja warum) das so gelten muss. Kann mir da jemand weiterhelfen?
dastrian Auf diesen Beitrag antworten »

Hmmm, also jetzt hab ich doch noch zwei kleinere Sachen gefunden:

1. ist Y doppelt besetzt: einmal ist f eine Abbildung von X nach Y, später nennst du Y die endliche Teilmenge von X

2. musst du fordern, dass Y (der Zielraum) ebenfalls ein metrischer Raum ist, sonst ist gleichmäßige Stetigkeit nicht definiert. Du benutzt bei der Definition der implizit, dass Y ein metrischer Raum ist.

ANsonsten ist es korrekt. Was meinst du mit dem letzten Schritt? Der gilt doch nach Definition deines !?! Oder meinst du, warum das ganze jetzt tatsächlich die gleichmäßige Stetigkeit von f zeigt?
PeterH Auf diesen Beitrag antworten »

Zu 1.) Da hast du Recht. Das ist aber glücklicherweise nur ein Notationsfehler.
Zu 2.) Auch hier habe ich falsch abgetippt. Auch Y soll ein metrischer Raum sein.

Mit dem letzten Schritt meine ich, dass mir noch nicht ganz klar ist, warum jetzt folgt, dass f(y) tatsächlich im Epsilon-Ball um f(x) liegt. Das habe ich intuitiv so hingeschrieben, aber ganz klar ist es mir noch nicht. Wenn du aber sagst, dass der Schritt so richtig ist, muss ich mir das ganze wohl selbst noch einmal genauer überlegen.
dastrian Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis: Stetige Funktion auf kompakter Menge ist gleichmäßig stetig
Na, deine Intuition möcht ich haben! (Hab mich mit sowas sehr rumschalgen müssen im ersten Studienjahr)

Überlegs dir einfach nochmal, ist nicht schwer, wahrscheinlich bist du nur verwirrt, was was ist.
Schau dirs nochmal an und mach dir klar, dass nach deiner Konstruktion folgendes gilt:
Sei beliebig, dann gilt (denn aus Konstr. von folgt ): und damit
 
 
PeterH Auf diesen Beitrag antworten »

Okay vielen Dank! Du hast mir sehr geholfen.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir Leid, aber mir ist noch nicht so ganz klar, warum damit die glm. Stetigkeit jetzt gezeigt sein soll.
Ich übernehme jetzt mal die Notation, dass statt des Zielbereichs von die Indexmenge der endlichen Teilüberdeckung ist.

Wenn ich jetzt aus beliebig nehme mit folgt damit doch nicht automatisch, dass , denn es muss ja nicht unbedingt in liegen. (Nur dann würde das Minimum auch über die Menge gelaufen sein). Oder?
dastrian Auf diesen Beitrag antworten »

Hmmmm... guter Punkt! Hab grad ehrlich gesagt keine Ideen, vielleicht liegt das aber auch an der Uhrzeit. Jetzt schlaf ich erstmal ne Nacht drüber, und wenn ein neuer Tag angebrochen ist, dass hat hoffentlich schon jemand ein Argument dafür gefunden, dass wir nicht die ganze Zeit falsch lagen! Big Laugh
Gut Nacht!
dastrian Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Abend!
Also mir fällt leider nur eine ziemlich starke Modifizierung des Beweises ein.
Lieber Peter, Entschuldigung für meine Verwirrung, ich weiß nicht, ob deine Beweisidee letztlich zielführend ist oder nicht. Ich bleib aber dabei, dass du einen relativ guten Instinkt hast, wenn der dir das eingegeben hat!

Seien und metrische Räume, eine stetige Funktion. Ist X kompakt, so ist f bereits gleichmäßig stetig."

Sei .
Definiere für die Menge . Aufgrund der Stetigkeit von gibt es zu jedem ein maximales , s.d. mit .
(formal muss man dieses gamma_x über das Supremum aller gamma>0 mit der geforderten Eigenschaft definieren, das meine ich mit maximal)
Definiere .
Es gilt: (Beweis kommt gleich) und dies ist das gesuchte für die Epsilon-Delta-Eigenschaft der gleichmäßigen Stetigkeit mit dem vorgegebenen (leicht zu zeigen, s. auch die vorherigen Beiträge).
Es ist , denn wäre , so gäbe es Folge mit , d.h. es gäbe zweite Folge mit , aber
Da kompakter metrischer Raum ist, ist es insbesondere folgenkompakt, d.h. und haben konvergente Teilfolgen.
Die Grenzwerte sind gleich, und daraus konstruiert man einen Widerspruch zu .

Näher am originalen Beweis hab ich leider nicht hinbekommen! Danke für deine Aufmerksamkeit, Gruppi12! smile
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ebenso einen guten Abend.

Schön, das sieht gut aus(außer ein paar Ausrutschern mit Normen statt Metrik, aber das ist ja ästhetik Augenzwinkern )

Nochmal zu dem Ansatz des TE: Wir haben das in der Vorlesung ähnlich gemacht, haben aber dann viel mit Epsilon/3- und Delta/3- Umgebungen gearbeitet. Auf diese Weise kann man sich dann erlauben, den Umweg über (bei dir speziell) Elemente von Y zu gehen. Ich kann mir eigentlich kaum vorstellen, dass man es mit der selben Methode aber viel großzügigeren Umgebungen schafft.
dastrian Auf diesen Beitrag antworten »

Ach - Norm, Metrik, papperlapapp! ist doch eh alles vom Skalarprodukt induziert! Hammer

Ich hab ziemlich lange darüber nachgedacht, ob Peters Beweis nicht doch funktioniert, habs aber nicht hingekriegt. Wäre echt schön, wenn in der Richtung noch jemand was schaffen würde.
Das mit und so weiter ist natürlich auch Standard, mir hatte bei Peters Beweis so sehr gefallen, dass er eben nicht mit sowas argumentiert.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mir darüber auch gerade nochmal Gedanken gemacht und bin zu dem Schluss gekommen, dass die Umgebungen einfach tatsächlich zu großzügig sind.

Man betrachte dafür:

. Am besten einfach mal plotten lassen.

Man wähle und lässt sich davon die liefern. Sagen wir mal wir finden dazu speziell und und natürliche viele mehr. Sagen wir mal die Kompaktheit von [-10,10] liefert uns dann die endliche Teilüberdeckung bestehend nur aus und . Das gibt uns dann delta=5.001. Nehmen wir jetzt x=2, y=-2, so gilt d(x,y) < 5.001 aber nicht d(f(x), f(y)) < 3
PeterH Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Antworten. Schade, dass mein Beweisansatz scheinbar nicht ganz zielführend ist. Ich werde mich mal weiter daran versuchen und ggf. Rückfragen stellen. Der Beweis von dastrian gefällt mir sehr gut.
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