Integral mit Integrationsgebiet

28.07.2013, 09:09

Isabella con Ella

Integral mit Integrationsgebiet

Meine Frage:
Moin. Also mein folgendes Problem beruht darauf, dass ich nicht weiß wie die Integrationsgrenzen zu Stande gekommmen sind.

$\begin{eqnarray*} \int_A xy d(x,y,z) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A=\lbrace (x,y,z) \in \mathbb R^3 :x,y,z\ge 0, x+y\le 1, z\le xy \rbrace \end{eqnarray*}$

Als Hinweis ist gegeben: Stellen Sie A als kartesisches Produkt dar.

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} \int_A xy d(x,y,z)=\int_0^1 \int_0^{1-x} \int_0^{xy}xy dzdydx=\int_0^1 \int_0^{1-x}x^2 y^2 dydx=\int_0^1 x^2 \frac 13 (1-x)^3 dx=\frac{1}{180} \end{eqnarray*}$

Mein Problem ist das Verständnis für die Integrationsgrenzen.
Wir haben ja die Bedingungen
$\begin{eqnarray*} x,y,z\ge 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x+y\le 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z\le xy \end{eqnarray*}$

Aber ich verstehe nicht wie man daraus auf die gegebenen Grenzen kommt.
Für eine Erklärung wäre ich unendlich dankbar.

28.07.2013, 11:55

Studi92

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Hey,
ein sehr ähnliches Problem hatte ich gestern auch.

Hier wurde es geklärt:
Alternative Darstellung von Körpern

Vielleicht hilft dir das weiter.

Gruß Wink

28.07.2013, 12:55

Isabella con Ella

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Wir haben ja die Bedingungen
$\begin{eqnarray*} x,y,z\ge 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x+y\le 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z\le xy \end{eqnarray*}$

Aber ich verstehe nicht wie man daraus auf die gegebenen Grenzen kommt.
Für eine Erklärung wäre ich unendlich dankbar.[/quote]

Zitat:

Original von ollie3
hallo,
das ist einfach: es sollen ja x,y, und z alle >= 0 sein, und wenn die summe
x+y <=1 ist, können ja x und y einzeln nicht grösser als 1 sein, das ist doch
logisch.
gruss ollie3

Ja das ist soweit klar und $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ ist dann demnach $\begin{eqnarray*} \le 1 \end{eqnarray*}$

Wieso aber diese Grenzen zu Stande kommen verstehe ich immer noch nicht.

29.07.2013, 18:08

Patrick1990

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Hallo,

ich kann mal versuchen zu helfen.

Zitat:

Original von Isabella con Ella
Wir haben ja die Bedingungen
$\begin{eqnarray*} x,y,z\ge 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x+y\le 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z\le xy \end{eqnarray*}$

Wenn $\begin{eqnarray*} x,y,z\ge 0 \end{eqnarray*}$ sind, dann
kann man ja schon einmal sagen:

$\begin{eqnarray*} x\in[0,\dots] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y\in[0,\dots] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z\in[0,\dots] \end{eqnarray*}$

Desweiteren sollen $\begin{eqnarray*} x+y\le 1 \end{eqnarray*}$ sein.

Nun beginnst du mit x. Es muss also zwischen 0 und 1 liegen.

Also:

$\begin{eqnarray*} x\in[0,1] \end{eqnarray*}$

Wenn $\begin{eqnarray*} x\in[0,1] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x+y\le 1 \end{eqnarray*}$ , dann kannst du dir ja das auch so schreiben, dass

$\begin{eqnarray*} y\le 1-x \end{eqnarray*}$

Nun hast du schon

$\begin{eqnarray*} y\in[0,1-x] \end{eqnarray*}$

Und z ist ja schon gegeben

$\begin{eqnarray*} z\in[0,xy] \end{eqnarray*}$

Ich hoffe das war es, was du hören wolltest Augenzwinkern

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