Fundamentalsystem eines Differentialgleichungssystems

28.07.2013, 09:10

Patrick1990

Fundamentalsystem eines Differentialgleichungssystems

Hallo, ich habe eine Frage bezüglich dieser Aufgabe.

Ich bin nun soweit, dass ich Eigenwerte und Eigenvektoren dieser Matrix bestimmt habe.

Ich habe folgende Eigenwerte:

$\begin{eqnarray*} \lambda_1=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda_2=1+i \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lambda_3=1-i \end{eqnarray*}$

Nun muss ich ja zu den komplexen Eigenwerten nur einen Eigenvektor finden und zu dem reelen Eigenwert einen.

Ich bekomme folgende Eigenvektoren:

$\begin{eqnarray*} v_1=\alpha\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v_2=\beta\cdot\begin{pmatrix}1\\2i\\1+i\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Nun ist die Frage, ob es reicht die Lösung des DGLS mit dem komplexen Eigenvekor anzugeben, also:

$\begin{eqnarray*} \vec x=C_1\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\cdot e^{x}+C_2\begin{pmatrix}1\\2i\\1+i\end{pmatrix}\cdot e^{(1+i)x}\enspace, C_1,C_2\in\mathbb R \end{eqnarray*}$

Ist die Lösung so richtig angegeben?Oder muss ich das $\begin{eqnarray*} \dots e^{\dots} \end{eqnarray*}$ gar nicht mit hinschreiben?

Oder ob ich den komplexen Eigenvektor reell machen muss.

Dazu bekomme ich folgendes heraus (Ich bitte hier um Überprüfung!):

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1\\2i\\1+i\end{pmatrix}\cdot e^{(1+i)x}=e^x\cdot\begin{pmatrix}\cos(x)\\-2\sin(x)\\\cos(x)-\sin(x)\end{pmatrix}+i\cdot\begin{pmatrix}\sin(x)\\2\cos(x)\\\cos(x)+\sin(x)\end{pmatrix}\cdot e^{x} \end{eqnarray*}$

Wie finde ich aber nun ein Fundamentalsystem?

Vielen Dank.

29.07.2013, 16:29

Patrick1990

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Hat keiner eine Idee oder kann mir sagen, ob das, was ich mache, richtig ist?

29.07.2013, 18:52

Fundamentalsystem

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Das Fundamentalsystem ist

$\begin{eqnarray*} e^{x}; e^{(1+i)x} ;e^{(1-i)x} \end{eqnarray*}$

Bei 3 unterschiedlichen Eigenvwerten gibt es mit Sicherheit auch 3 unterschiedliche Eigenvektoren

29.07.2013, 18:58

Patrick1990

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Bei komplexen Eigenwerten sind die Eigenvektoren gleich, oder eine Linearkombination, laut unserem Seminarleiter. Wir sollen deshalb nur von einem komplexen Eigenwert einen Eigenvektor bestimmen. Fundamentalsystem haben wir auch in Form einer Matrix angegeben.

29.07.2013, 22:51

Fundamentalsystem

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Zitat:

Original von Patrick1990
Bei komplexen Eigenwerten sind die Eigenvektoren gleich, oder eine Linearkombination, laut unserem Seminarleiter. Wir sollen deshalb nur von einem komplexen Eigenwert einen Eigenvektor bestimmen

Die Eigenvektoren sind nicht gleich sondern konjugiert komplex
auch dann reicht es wenn man nur einen berechnet,weil man den anderen sofort hat
aber im Fundamentalsystem darf man ihn nicht weglassen

$\begin{eqnarray*} \vec z_{1} =\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} e^{x};\enspace \vec z_{2} =\begin{pmatrix}1-i\\2+2i\\2\end{pmatrix}e^{(1+i)x};\enspace \vec z_{3} =\begin{pmatrix}1+i\\2-2i\\2\end{pmatrix}e^{(1-i)x} \end{eqnarray*}$

29.07.2013, 22:56

Patrick1990

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Zitat:

Original von Fundamentalsystem

$\begin{eqnarray*} \vec z_{1} =\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} e^{x};\enspace \vec z_{2} =\begin{pmatrix}1-i\\2+2i\\2\end{pmatrix}e^{(1+i)x};\enspace \vec z_{3} =\begin{pmatrix}1+i\\2-2i\\2\end{pmatrix}e^{(1-i)x} \end{eqnarray*}$

Ok, danke. Aber wie kommst du nun auf diese komplexen Eigenvektoren, wo doch meiner ganz anders aussah?

29.07.2013, 23:03

Fundamentalsystem

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Es gibt doch Online Rechner

29.07.2013, 23:05

Patrick1990

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Was nicht heißen muss, dass meiner falsch ist? Sorry, verwirrt mich leicht.

29.07.2013, 23:16

Fundamentalsystem

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Also meiner stimmt

(a+bi)*DeinVektor=MeinVektor

Findest du da ein a und b? Augenzwinkern

30.07.2013, 07:15

Patrick1990

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Irgendwie nicht, ich dachte erst an $\begin{eqnarray*} 1-i \end{eqnarray*}$ , jedoch haut das bei der zweiten Zeile ja nicht hin.

30.07.2013, 09:01

HAL 9000

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Die Diskussion ist müßig, da

$\begin{eqnarray*} (1-i)\cdot \begin{pmatrix}1\\2i\\1+i\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1-i\\2+2i\\2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ist, d.h. beides sind passende Eigenvektoren zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} 1+i \end{eqnarray*}$ .

Und wieder raus... Augenzwinkern

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