Laurent-Reihe

28.07.2013, 20:17	fleurita	Auf diesen Beitrag antworten »
Laurent-Reihe Meine Frage: guten abend! Ich will die Laurent-reihenentwicklung bestimmen um den pol bei $\begin{eqnarray} z=2 \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} f(z)=\frac{2z-1}{z(z-1)(z-2)} \end{eqnarray}$ für a) $\begin{eqnarray} 0<\|z-2\|<1 \end{eqnarray}$ Meine Ideen: $\begin{eqnarray} \frac{2z-1}{z(z-1)(z-2)}=-\frac{\tfrac{1}{2}}{z}-\frac{1}{z-1}+\frac{\tfrac{3}{2}}{z-2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -\frac{\tfrac{1}{2}}{z}=-\frac{\tfrac{1}{2}}{2+(z-2)}=-\frac{\tfrac{1}{2}}{2-(-1)(z-2)}=-\frac{\tfrac{1}{4}}{1-(-1)\frac{(z-2)}{2}}\overbrace{=}^{\left\|-\frac{z-2}{2}\right\|<1}\sum_{n=0}^{\infty} -\frac{1}{4} \left(-\frac{z-2}{2}\right)^n=\sum_{n=0}^{\infty} -\frac{1}{4(-2)^n}(z-2)^n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -\frac{1}{z-1}=-\frac{1}{1-(-1)(z-2)}\overbrace{=}^{\left\|-(z-2)\right\|<1}\sum_{n=0}^{\infty} -((-1)(z-2))^n=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^{n+1}(z-2)^n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow f(z)=\frac{\tfrac{3}{2}}{z-2}+\sum_{n=0}^{\infty} \left((-1)^{n+1}-\frac{1}{4(-2)^n}\right)(z-2)^n \end{eqnarray}$ stimmt das etwa ? Wenn ja, geht das nicht einfacher freue mich über jede hilfe!
29.07.2013, 00:31	dastrian	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Laurent-Reihe Soweit ich das sehe, alles korrekt! Bei solchen rationalen ist die Partialbruchzerlegung meist die beste Idee und dann genau so weiter vorgehen, wie dus gemacht hast! Einfach gehts wohl auch nicht, aber man bekommt immer mehr Übung. Und wenn man nen netten Prof hat, fragt der in der Klausur nicht nach der ganzen Laurentreihe, sondern nur nach dem Hauptteil.
29.07.2013, 20:32	fleurita	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Laurent-Reihe danke. Das wäre in diesem fall dann ja schnell erledigt gewesen , wobei man dann aber noch zeigen müsste, dass $\begin{eqnarray} -\frac{\tfrac{1}{2}}{z} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{1}{z-1} \end{eqnarray}$ zum nebenteil gehören. Und ich wüsste nicht wie das geht außer wie ich es gemacht hab .
29.07.2013, 21:08	dastrian	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Laurent-Reihe Beide Terme sind rationale Funktionen, deren Nanner in B(2,1) nicht null werden, also sind sie dort holomorph, d.h. ihre Laurenreihe besteht nur aus dem Nebenteil.
30.07.2013, 10:03	fleurita	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Laurent-Reihe ahja stimmt! danke!

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