Ist Zufallsvariable X von exp(X) unabhängig?

28.07.2013, 21:08

scu

Ist Zufallsvariable X von exp(X) unabhängig?

Meine Frage:
Guten abend zusammen,

ich sitze an einem Erwartungswert $\begin{eqnarray*} E\left[X\cdot \exp(a\cdot X)\right] \end{eqnarray*}$ , wobei a eine reelle Zahl ist und X eine reelle Zufallsvariable ist. Die Frage ist, ob ich diesen Erwartungswert auseinander ziehen darf oder nicht.

Meine Ideen:
Gar keine, denn über die Verteilung von X ist nichts bekannt.

28.07.2013, 21:50

HAL 9000

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Zitat:

Original von scu
Die Frage ist, ob ich diesen Erwartungswert auseinander ziehen darf

Falls du damit

$\begin{eqnarray*} E\left[X\cdot \exp(a\cdot X)\right] \stackrel{?}{=} E\left[X\right] \cdot E\left[\exp(a\cdot X)\right] \end{eqnarray*}$

meinen solltest: Nein!

Das gilt allenfalls, wenn $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ fast sicher konstant oder aber $\begin{eqnarray*} a=0 \end{eqnarray*}$ ist, was ja mutmaßlich nicht der Anwendungsfall ist, der dir vorschwebt.

EDIT: Tatsächlich kann man für nicht fast sicher konstante $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und streng monoton wachsende Funktionen $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ sogar die Ungleichung

$\begin{eqnarray*} E[Xh(X)] > E[X]\cdot E[h(X)] \end{eqnarray*}$ ,

nachweisen. Offenbar folgt daraus für streng monoton fallende Funktionen $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ entsprechend

$\begin{eqnarray*} E[Xh(X)] < E[X]\cdot E[h(X)] \end{eqnarray*}$ .

In deinem Fall ist $\begin{eqnarray*} x\mapsto \exp(ax) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} a>0 \end{eqnarray*}$ streng monoton wachsend, und für $\begin{eqnarray*} a<0 \end{eqnarray*}$ streng monoton fallend.

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