Unterschied Gleichung/Äquivalenz |
| 29.07.2013, 08:16 | Thorsten D. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Unterschied Gleichung/Äquivalenz Ich will insbesondere darauf hinaus, warum man "äquivalente" Umformungen nicht einfache "gleiche" Umformungen nennt. Zusätzlich stellt sich mir die Frage, ob ein Term bereits (für sich) eine Aussage darstellt oder erst die Verbindung von zwei Termen durch "=" eine Aussage darstellt? |
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| 29.07.2013, 11:14 | Nofeykx | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Eine Gleichung beschreibt die Gleichheit von zwei Termen. Eine Äquivalenz beschreibt die Gleichwertigkeit von zwei Aussagen. Ein kleines Beispiel: Ich habe zwei Terme und möchte ausdrücken, dass diese gleich sind. Dann kann ich dazwischen ein Gleichheitszeichen schreiben. Habe ich nun zwei Gleichungen gegeben. Dann kann ich zwischen diese Gleichungen eine Äquivalenz schreiben, wenn diese gleichwertig sind. Das bedeutet nicht, dass beide Gleichungen gleich sein müssen. Ich könnte zum Beispiel die Gleichungen x+5 = 7 x+4 = 6 haben. Es steht zwar nicht bei beiden Gleichungen das selbe, deswegen könnte ich kein Gleichheiteszeichen zwischen sie schreiben, aber sie sagen beide genau das gleiche aus(nämlich, dass x=2 gilt). Deswegen sind sie äquivalent.
Nein, eine Aussage hat immer einen Wahrheitswert, das heißt du kannst entscheiden, ob sie wahr ist oder nicht. Bei der Aussage x+5 = 7 kann man zum Beispiel sagen: Das ist wahr, wenn x=2 und sonst falsch. Hast du nur einen Term, wie beispielsweise x+5. Was soll man da über einen Wahrheitsgehalt reden? |
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| 29.07.2013, 17:48 | original | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
.. kleine Anmerkung: x+5 = 7 ist keine Aussage .. sondern eine Aussageform ..erst dann, wenn du den Platzhalter x durch einen konkreten Wert ersetzt, kann aus einer Aussageform eine Aussage werden, bei der du entscheiden kannst -> wahr oder falsch.. nebenbei: sind zB -> "der Mond besteht aus grünem Käse" oder . "es regnet" Aussagen ? 
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| 29.07.2013, 19:22 | Nofeykx | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Soll ich das jetzt beantworten oder was ? 
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| 31.07.2013, 03:22 | Thorsten D. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Unabhängig von -original- habe ich ebenfalls diesen Einwand: x+5=7 stellt eine Aussageform dar, keine Aussage. Eine Äquivalenz vergleicht Aussagen (Aussageformen?) - Die Äquivalenz vergleicht also Wahrheitswerte, oder? Eine Gleichung vergleicht Terme, ein Term ist (für sich) noch keine Aussage, also vergleicht eine Gleichung k e i n e Wahrheitswerte, oder? Sondern eine Gleichung "erzeugt" eine Aussage (Aussageform?) und damit einen Wahrheitswert? Ist die logische Äquivalenz und die äquivalente Umformung dasselbe? Falls ja, kommt es auf die Wahrheitswerte an, dabei wäre es möglich, dass die linke und die rechte Seite der Äquivalenz inhaltlich gar nichts miteinander zu tun haben? Was irgendwie seltsam ist, weil eine äquivalente Umformung von Gleichungen, ja eine einen Zusammenhang suggeriert? Noch etwas: Vergleicht eine Äquivalenz "Aussagen" oder "Wahrheitswerte von Aussagen"? Das sind zwar viele Fragen, ich hoffe aber auf viele kompetente Antworten :-) Mir scheint im allgemeinen mathematischen Symbol- und Sprachgebrauch wird das nicht sauber gehandhabt, eventuell auch daher meine Schwierigkeiten? |
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| 31.07.2013, 07:36 | Josef48 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo Thorsten, Äquivalenz [lateinisch] die, mathematische Logik: Bezeichnung für zwei Aussagen mit demselben Wahrheitswert; Quelle: © Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus AG, Mannheim 2001 Gleichung, Mathematik: Ausdruck für eine Gleichheit von Größen (Zahlen, Funktionen), dargestellt durch das Gleichheitszeichen (=), die durch das Gleichsetzen zweier Terme entsteht. Quelle: © Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus AG, Mannheim 2001 "Die Umformung einer Gleichung ist äquivalent, wenn die Lösungsmenge der umgeformten Gleichung gleich der Lösungsmenge der ursprünglichen Gleichung ist." Quelle: Mathematik leicht gemacht; Seite 56 |
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| 12.08.2013, 13:09 | Thorsten D. | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, ok, die Definitionen kann ich auch nachschlagen, eine konkrete Antwort auf die Fragen wäre schön. |
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| 07.03.2014, 03:44 | Checkerius | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
in aussagenformen kannste was einsetzen in aussagen kannste nix einsetzen. eigentlich ganz einfach. und terme sind einfach zahlen. später kommen noch Prädikate, die sind komplizierter, da gibt's auch variablen zum einsetzen. und beachte die wahrheitswerte nur wahr und falsch sind erlaubt |
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