Integral von trigonometrischen Funktionen

29.07.2013, 08:59	Frau in Not	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral von trigonometrischen Funktionen Meine Frage: Hallo Ich bin gerade dabei einige Staatsexamensaufgaben der Funktionentheorie als Klausurvorbereitung zu rechnen und bei dieser hier kommt iwie nur Mist raus und nicht das was soll.... Es handelt sich um F 2008 Thema 2 Aufgabe 4a) $\begin{eqnarray} \frac{2+cos(3x)}{2+cos(x)} \end{eqnarray}$ Das Integral soll von 0 bis 2Pi berechnet werden Meine Ideen: Ich habe ausprobiert den cosinus als $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \left(e^{iz}+e^{-iz} \right) \end{eqnarray}$ zu schreiben aber immer wenn ich nicht cos(z) sondern zb wie hier cos(3z) komme ich nicht auf das richtige Ergebnis.. die 3 habe ich natürlich mit eingerechnet. Gibt es einen Trick für solche Aufgaben.. Wäre für jede Hilfe sehr dankbar LG
29.07.2013, 10:08	original	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral von trigonometrischen Funktionen ein möglicher Vorschlag, um deine Not zu lindern: es könnte vielleicht ein Blick in eine Formelsammlung hilfreich sein?.. -> cos(3x)= 4 cos^2(x) - 3 cos(x) danke, oh du grosser Löwe, der du unten schreibst: nur ein kleiner Hinweis: in meiner Formelsammlung steht aber 4 cos^3(x) ich habe mir eine bessere Brille aufgesetzt .. und den nachfolgenden Text verbessert -> und damit sieht dein Integrand dann so aus: $\begin{eqnarray} \frac{2+cos(3x)}{2+cos(x)} = 4 cos^2(x) - 8cos(x) +13 - \frac{24}{2+cos(x)} \end{eqnarray}$ nehme an, dass du das nun ohne Not auch als Frau ganz alleine integrieren kannst ? .
29.07.2013, 10:14	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral von trigonometrischen Funktionen nur ein kleiner Hinweis in meiner Formelsammlung steht aber 4 cos^3(x) dann wird es noch einfacher. Bin wieder weg
29.07.2013, 10:17	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Da ich dort was von "Funktionentheorie" lese, wäre auch folgendes möglich: Zunächst mal ist wegen Periodizität $\begin{eqnarray} \cos(x)=\cos(x-2\pi) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int\limits_0^{2\pi} \frac{2+\cos(3x)}{2+\cos(x)} ~ \dd x = \int\limits_{-\pi}^{\pi} \frac{2+\cos(3x)}{2+\cos(x)} ~ \dd x \end{eqnarray}$ . Mit Generalsubstitution $\begin{eqnarray} z = \tan\left( \frac{x}{2} \right) \end{eqnarray}$ , d.h. dann $\begin{eqnarray} \dd x = \frac{2}{1+z^2} ~ \dd z \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ,\quad \cos(x) = \frac{1-z^2}{1+z^2} \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} \cos(3x) = 4\cos^3(x)-3\cos(x) \end{eqnarray}$ wird daraus dann $\begin{eqnarray} \int\limits_{-\pi}^{\pi} \frac{2+\cos(3x)}{2+\cos(x)} ~ \dd x = \int\limits_{-\infty}^{\infty} Q(z) ~ \dd z \end{eqnarray}$ mit einer gebrochen rationalen Funktion $\begin{eqnarray} Q(z) \end{eqnarray}$ , auf dieses Integral könntest du dann den Residuensatz loslassen.
29.07.2013, 10:48	original	Auf diesen Beitrag antworten »
als Nachhall noch eine kleine Ergänzung zu meinem obigem (löwenmässig angepassen) Beitrag mit dieser kleinen Anmerkung: ohne "Komplexe" Hilfsmittel ist das Integral $\begin{eqnarray} \int\! \frac{24}{2+cos(x)} \, dx \end{eqnarray}$ mit der erwähnten Generalsubstitution $\begin{eqnarray} u = \tan\left( \frac{x}{2} \right) \end{eqnarray}$ wohl zu bewältigen.. .
29.07.2013, 10:52	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist es, und wegen der in vielen Teilen ähnlichen Vorarbeit ist auch der funktionentheoretische Weg nicht viel kürzer. Zumindest der von mir vorgezeichnete, es geht ja vielleicht auch kürzer.
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29.07.2013, 15:33	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Und man kann das Integral als $\begin{eqnarray} \int_{\lvert z\rvert=1}\frac1{\mathrm i}\frac{4+z^3+z^{-3}}{z^2+4z+1}\dd z \end{eqnarray}$ schreiben. Dann den Residuensatz anwenden.

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