Grenzwert von Funktionen, Schritt unklar (Betrag)

29.07.2013, 14:21

Mathelover

Grenzwert von Funktionen, Schritt unklar (Betrag)

Hey liebe Boardies, habe hier mal wieder ne Aufgabe, bei der ich die "tolle und ausführliche" Musterlösung nicht verstehe.

Wie kommen die denn vom zweiten Term auf den dritten?

Ich hoffe ihr könnt mir helfen.

29.07.2013, 14:25

Steffen Bühler

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RE: Grenzwert von Funktionen, Schritt unklar (Betrag)
Du meinst, wie man von $\begin{eqnarray*} \frac {x \cdot |x|}{2x^2} \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \frac {|x|}{2 \cdot x} \end{eqnarray*}$ kommt? Da wurde ein x gekürzt.

Viele Grüße
Steffen

29.07.2013, 14:32

Mathelover

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RE: Grenzwert von Funktionen, Schritt unklar (Betrag)
Ups Big Laugh

okay danke smile

.

Und weshalb ergibt hier der Grenzwert für

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to b} 0+ = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {|x|}{x} \end{eqnarray*}$ ist doch für $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to b} 0+ \end{eqnarray*}$ = 0. Und 0 mal irgendetwas ergibt wieder 0. Warum erhalten wir hierfür 1?

Viele Grüße.

29.07.2013, 14:40

Steffen Bühler

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RE: Grenzwert von Funktionen, Schritt unklar (Betrag)

Zitat:

Original von Mathelover
$\begin{eqnarray*} \frac {|x|}{x} \end{eqnarray*}$ ist doch für $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to b} 0+ \end{eqnarray*}$ = 0.

Ich weiß nicht, was hier b bedeutet, aber warum soll $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0+ } \frac {|x|}{x} = 0 \end{eqnarray*}$ sein?

EDIT: + eingefügt.

29.07.2013, 14:49

Mathelover

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RE: Grenzwert von Funktionen, Schritt unklar (Betrag)
Sorry, habe mich mit dem b vertippt.

Aber warum ergibt denn:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0+ } \frac {|x|}{x} = 1 \end{eqnarray*}$

Mit L'Hospital komme ich da auch nicht weiter.

29.07.2013, 14:58

bijektion

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Doch: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0+ } \frac {|x|}{x} = \lim_{x \to 0+ }\frac {sgn(x)}{1}=1 \end{eqnarray*}$ . Natürlich nur für $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ .

29.07.2013, 14:59

Steffen Bühler

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RE: Grenzwert von Funktionen, Schritt unklar (Betrag)
Mit Fallunterscheidung kannst Du den hier gefragten rechtsseitigen Grenzwert über den Grenzwert der Funktion f(x)=x/x für x gegen Null berechnen, so wirst Du den Betrag los. Und jetzt hilft L'Hospital durchaus.

Viele Grüße
Steffen

29.07.2013, 15:01

Che Netzer

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RE: Grenzwert von Funktionen, Schritt unklar (Betrag)
Du willst l'Hospital zur Berechnung von $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to0}\frac xx \end{eqnarray*}$ benutzen? verwirrt

29.07.2013, 15:03

Mathelover

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Zitat:

Original von bijektion
Doch: $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0+ } \frac {|x|}{x} = \lim_{x \to 0+ }\frac {sgn(x)}{1}=1 \end{eqnarray*}$ . Natürlich nur für $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ .

Also ich komme mit L'Hospital auf folgenden Term:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0+ } \frac {|x|}{x} = \lim_{x \to 0+ }\frac {x}{\sqrt{x^{2} } } \end{eqnarray*}$ .

Und damit kann ich leider auch nichts anfangen.

29.07.2013, 15:04

bijektion

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RE: Grenzwert von Funktionen, Schritt unklar (Betrag)

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Mit Fallunterscheidung kannst Du den hier gefragten rechtsseitigen Grenzwert über den Grenzwert der Funktion f(x)=x/x für x gegen Null berechnen, so wirst Du den Betrag los. Und jetzt hilft L'Hospital durchaus.

Scheint mir sinnlos; $\begin{eqnarray*} \frac{x}{x} \end{eqnarray*}$ ist doch immer gleich eins, da bringt die die Fallunterscheidung gar nichts..

29.07.2013, 15:07

bijektion

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Zitat:

Original von Mathelover

Zitat:

Das ist aber falsch. $\begin{eqnarray*} (|x|)' = sgn(x) \forall x \neq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (x)'=1 \end{eqnarray*}$ .

29.07.2013, 15:08

Steffen Bühler

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RE: Grenzwert von Funktionen, Schritt unklar (Betrag)

Zitat:

Original von bijektion
$\begin{eqnarray*} \frac{x}{x} \end{eqnarray*}$ ist doch immer gleich eins

Nein, für x=0 ist f(x)=x/x nicht definiert.

29.07.2013, 15:10

bijektion

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RE: Grenzwert von Funktionen, Schritt unklar (Betrag)

Zitat:

Original von Steffen Bühler

Zitat:

Original von bijektion
$\begin{eqnarray*} \frac{x}{x} \end{eqnarray*}$ ist doch immer gleich eins

Nein, für x=0 ist f(x)=x/x nicht definiert.

Ändert aber nichts am Problem.

29.07.2013, 15:15

Steffen Bühler

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RE: Grenzwert von Funktionen, Schritt unklar (Betrag)

Zitat:

Original von bijektion
Ändert aber nichts am Problem.

Bevor der Subthread hier ausufert: $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac {|x|}x \end{eqnarray*}$ lässt sich für positive x als $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac xx \end{eqnarray*}$ ausdrücken, für negative x als $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac {-x}x \end{eqnarray*}$ . Daher kann der jeweilige Grenzwert gegen Null dieser beiden Funktionen berechnet werden. Und das kann man z. B. mit l'Hospital machen, denn die Ableitungen der Zähler und Nennerfunktionen sind recht einfach.

29.07.2013, 15:19

bijektion

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RE: Grenzwert von Funktionen, Schritt unklar (Betrag)

Zitat:

Original von Steffen Bühler

Zitat:

Original von bijektion
Ändert aber nichts am Problem.

Ja das stimmt, dann habe ich dich falsch verstanden, sorry Wink

Aber wäre die von mir aufgeführte Lösung nicht auch möglich?

29.07.2013, 15:23

Steffen Bühler

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RE: Grenzwert von Funktionen, Schritt unklar (Betrag)

Zitat:

Original von bijektion
sorry

Passt schon. Du kannst ja versuchen, solch ein Reinplatzen in laufende Threads demnächst etwas zu vermeiden. Die Fragesteller werden meistens nur unnötig verwirrt.

Zitat:

Original von bijektion
wäre die von mir aufgeführte Lösung nicht auch möglich?

Du brauchst halt für l'Hospital die Ableitung der Signumfunktion, was wohl wieder auf eine Fallunterscheidung rausläuft.

Viele Grüße
Steffen

29.07.2013, 15:26

bijektion

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RE: Grenzwert von Funktionen, Schritt unklar (Betrag)

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Du brauchst halt für l'Hospital die Ableitung der Signumfunktion, was wohl wieder auf eine Fallunterscheidung rausläuft.

Wo brauche ich die denn?

29.07.2013, 16:24

Steffen Bühler

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RE: Grenzwert von Funktionen, Schritt unklar (Betrag)

Zitat:

Original von bijektion

Zitat:

Original von Steffen Bühler
Du brauchst halt für l'Hospital die Ableitung der Signumfunktion, was wohl wieder auf eine Fallunterscheidung rausläuft.

Wo brauche ich die denn?

Ok, schlecht ausgedrückt. Ich meinte nicht die "Ableitung der Signumfunktion", sondern die Fallunterscheidung, ob Du Dich bei sgn(x) der Null von rechts oder links näherst.

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