Tangentialebene / Normalenvektor

29.07.2013, 14:24

Studi92

Tangentialebene / Normalenvektor

Hallo Leute,
ich hätte eine Frage zur Tangetialebene bzw. dem Normalenvektor.

Es war die Funktion
$\begin{eqnarray*} f|\mathbb{R}^2 -> \mathbb{R} \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} f(x,y)=(y^3-3y+x+1)e^x \end{eqnarray*}$ gegeben.

Man sollte die Gleichung der Tangentialebene im Punkt $\begin{eqnarray*} P_0(0,2,z_0) \end{eqnarray*}$ bestimmen und einen Normalenvektor für diese Ebene angeben.

Also habe ich erstmal bestimmt
$\begin{eqnarray*} f_x(x,y)=(y^3-3y+x+2)e^x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_y(x,y)=(3y^2-3)e^x \end{eqnarray*}$

Dann habe ich bestimmt

$\begin{eqnarray*} f(0,2)=(2^3-3*2+0+1)1=3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_x(0,2)=(2^3-3*2+0+2)1=4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f_y(0,2)=(3*2^2-3)1=9 \end{eqnarray*}$

in die Tangentialgleichung eingesetzt
$\begin{eqnarray*} T=3+(4,9)+\binom{x-0}{y-2} \end{eqnarray*}$

ausmultipliziert
$\begin{eqnarray*} 3+4x+9y-18 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4x+9y-15 \end{eqnarray*}$

und den Normalenvektor angegeben als
$\begin{eqnarray*} \vec{n} = (4~9~-15)^T \end{eqnarray*}$ (habe keinen 3 zeiligen Vektor in LaTeX hinbekommen) traurig

Das wurde mir in der Klausur als Fehler angestrichen, wieso ist das falsch und wie müsste man es richtig angeben?

Vielen Dank im Voraus!

29.07.2013, 14:54

Che Netzer

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RE: Tangentialebene / Normalenvektor
Die Tangentialebene des Graphen meinst du sicher.

Zitat:

Original von Studi92
in die Tangentialgleichung eingesetzt
$\begin{eqnarray*} T=3+(4,9)+\binom{x-0}{y-2} \end{eqnarray*}$

Was für eine Tangentialgleichung? Was ist $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ ? Wieso addierst du ein Skalar mit einem Zeilenvektor und einem Spaltenvektor (laut Code eigentlich ein Binomialkoeffizient – nutze \begin{pmatrix}....&...\\...&...\end{pmatrix})?

Was machst du danach?
Möchtest du sagen, dass die Tangentialebene des Graphen von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ an einer Stelle $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0) \end{eqnarray*}$ alle $\begin{eqnarray*} (x,y,z) \end{eqnarray*}$ sind, welche
$\begin{eqnarray*} f(x_0,y_0)+\nabla f(x_0,y_0)\cdot\begin{pmatrix}x-x_0\\y-y-0\end{pmatrix}=0 \end{eqnarray*}$
erfüllen?
Das ist jedenfalls falsch. Z.B. müsste $\begin{eqnarray*} \bigl(x_0,y_0,f(x_0,y_0)\bigr) \end{eqnarray*}$ in der Tangentialebene liegen; dieser Punkt erfüllt die Gleichung aber nur für $\begin{eqnarray*} f(x_0,x_0)=0 \end{eqnarray*}$ . Und überhaupt beschreibt diese Gleichung immer eine Ebene parallel zur $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ -Achse.

29.07.2013, 15:06

Studi92

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RE: Tangentialebene / Normalenvektor
Hi,
ich gebe dir mal die konkrete Aufgabenstellung:
Man gebe eine Gleichung der Tangentialebene an den Graphen von f im Punkt $\begin{eqnarray*} P_0(0,2,z_0) \end{eqnarray*}$ und einen Normalenvektor für diese Ebene an.

Es sollte natürlich heißen:
$\begin{eqnarray*} T=3+(4,9) \begin{pmatrix}x-0\\y-2\end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray*}$

Deine Fragestellung kann ich leider nicht beantworten, weil ich die Aufgabe nicht erstellt habe und nicht genau weiß, wie das verstanden werden soll. Erstaunt2

Bis zu dem Normalenvektor wurde mir aber nichts als Fehler angestrichen, aber dann schon.
Wie bestimmt man denn den Normalenvektor der Tangentialebene normalerweise? verwirrt

Vielen Dank im Voraus!

29.07.2013, 15:29

Che Netzer

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RE: Tangentialebene / Normalenvektor

Zitat:

Original von Studi92
Es sollte natürlich heißen:
$\begin{eqnarray*} T=3+(4,9) \begin{pmatrix}x-0\\y-2\end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray*}$

Und was soll das bedeuten? Was soll $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ sein; was soll das darstellen?

29.07.2013, 15:36

Studi92

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RE: Tangentialebene / Normalenvektor
Tangentialebene? Erstaunt1

Ich habe nochmal eben nachgeschaut und wir hatten es ansonsten immer angegeben mit =z in diesem Fall also
$\begin{eqnarray*} 4x+9y-15=z \end{eqnarray*}$

Wie kann ich jetzt den Normalenvektor daraus angeben?

Spielt es eine große Rolle wofür das T steht, kann das nicht an jeder Uni unterschiedlich benannt werden?

Vielen Dank im Voraus!

29.07.2013, 15:43

Che Netzer

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RE: Tangentialebene / Normalenvektor

Zitat:

Original von Studi92
Tangentialebene? Erstaunt1

Das $\begin{eqnarray*} T \end{eqnarray*}$ soll die Tangentialebene sein?
Wie kann denn aber eine Ebene gleich einer (variablen) reellen Zahl sein?

Zitat:

Ich habe nochmal eben nachgeschaut und wir hatten es ansonsten immer angegeben mit =z in diesem Fall also
$\begin{eqnarray*} 4x+9y-15=z \end{eqnarray*}$

Aha! Was du da berechnet hast, ist also nicht etwas, dessen Nullstellenmenge dir die Ebene liefert, sondern ganz einfach die $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ -Komponente.
Die Punkte deiner Ebene sind also gerade diejenigen der Form
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}x\\y\\4x+9y-15\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
und eine Ebenengleichung ist durch $\begin{eqnarray*} 4x+9y-z-15=0 \end{eqnarray*}$ gegeben.

Ist dir jetzt auch klar, wieso dein Lösungsweg nicht funktioniert hat?

29.07.2013, 15:52

Studi92

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Zitat:

Das soll die Tangentialebene sein?
Wie kann denn aber eine Ebene gleich einer (variablen) reellen Zahl sein?

So habe ich das natürlich gemeint. Augenzwinkern

Dann wäre mein Normalenvektor also $\begin{eqnarray*} \ \vec{n}=\begin{pmatrix}4\\9\\-1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

29.07.2013, 15:56

Che Netzer

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Ja, das ist ein möglicher Normalenvektor.

29.07.2013, 16:03

Studi92

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Es gibt hier noch einen anderen Aufgabenteil, vielleicht kannst du mir dabei auch noch behilflich sein? :-)

Zitat:

Man bestimme das Taylorpolynom $\begin{eqnarray*} T_2(x_0;y_0;x,y) \end{eqnarray*}$ 2. Grades von f an der Stelle $\begin{eqnarray*} (x_0,y_0)=(0,2) \end{eqnarray*}$

Ich kenne das für Funktionen mit einer Veränderlichen, also die Taylorformel, aber wie behandelt man es bei mehreren Veränderlichen? Ich habe ja jetzt immer $\begin{eqnarray*} f_x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_y \end{eqnarray*}$ .

Vielen Dank im Voraus!

29.07.2013, 16:21

Che Netzer

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Dann schlag am besten mal nach, wie ihr das Taylorpolynom für Funktionen mehrerer Veränderlicher definiert habt. Ihr werdet doch wohl eine Definition davon haben, wenn euch diese Aufgabe gestellt wird.

Bestimmt kannst du dir aber schon denken, was du noch ausrechnen musst. Wenn du das getan hast, musst du nur noch in die Definition einsetzen.

29.07.2013, 16:26

Studi92

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Ok ich denke ich habe das richtige gefunden.

Also
$\begin{eqnarray*} T_2((x,y)(x_0,y_0)=f(x_0,y_0)+(f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0))+\frac{1}{2}(f_{xx}(x_0,y_0)(x-x_0)^2+2f_{xy}(x_0,y_0)(x-x_0)(y-y_0)+f_{yy}(x_0,y_0)(y-y_0)^2)<br /> \end{eqnarray*}$

Kann ich die verwenden und wie kann ich es abkürzen? verwirrt

Vielen Dank im Voraus!

29.07.2013, 16:29

Che Netzer

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Schreib das doch so auf:

$\begin{align*} T_2((x,y)(x_0,y_0)&=f(x_0,y_0)+(f_x(x_0,y_0)(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)(y-y_0))\\&\qquad+\frac{1}{2}(f_{xx}(x_0,y_0)(x-x_0)^2+2f_{xy}(x_0,y_0)(x-x_0)(y-y_0)+f_{yy}(x_0,y_0)(y-y_0)^2) \end{align*}$

Dann hast du keine Überbreite.
Ja, darin musst du jetzt nur noch die partiellen Ableitungen (und $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y_0 \end{eqnarray*}$ ) einsetzen.

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