Lebesgue Raum Polarkoordinaten

29.07.2013, 17:19

Moe.Lee

Lebesgue Raum Polarkoordinaten

Meine Frage:
Hallo, gehe in knapp 4 Wochen in meinen 2. Versuch in Mathe 3 und bin am Verzweifeln.

Im moment bereitet mir diese Klausuraufgabe große Probleme:
Es sei $\begin{eqnarray*} B=\left\{ (x,y):x^2+y^2\leq 1\right\}\subseteq \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ die abgeschlossene Einheitskreisscheibe. Weiterhin sei $\begin{eqnarray*} G=\mathbb R ^2 \backslash B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f:G\rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(x,y)=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}} \end{eqnarray*}$
bestimmen sie alle $\begin{eqnarray*} p>0 \end{eqnarray*}$ so dass $\begin{eqnarray*} f \in L^p(G) \end{eqnarray*}$
Hinweis: Polarkoordinaten.

Meine Ideen:
Es scheitert leider schon an den Polarkoordinaten.
Das $\begin{eqnarray*} r\leq 1 \end{eqnarray*}$ bekomme ich ja noch hin, aber wie erhalte ich den Winkel? Muss ich da jetzt für jeden Fall ( $\begin{eqnarray*} x<y , x>y \end{eqnarray*}$ ) eine Fallunterscheidung machen?

Danke schonmal für eure Hilfe.

Gruß,
Mohammed

29.07.2013, 17:25

Che Netzer

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RE: Lebesgue Raum Polarkoordinaten

Zitat:

Original von Moe.Lee
Hallo, gehe in knapp 4 Wochen in meinen 2. Versuch in Mathe 3 und bin am Verzweifeln.

Na immerhin gehörst du nicht zu denen, die hier mit "Hilfe, hab' morgen eine Klausur!" ankommen Augenzwinkern

Zitat:

Das $\begin{eqnarray*} r\leq 1 \end{eqnarray*}$ bekomme ich ja noch hin, aber wie erhalte ich den Winkel?

Welchen Winkel?
Möchtest du $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ in Polarkoordinaten darstellen? Wie lauten denn die Kreiskoordinaten? Ihr werdet doch sicher mal einen Kreis parametrisiert haben.

Das ganze anders formuliert:
Wende den Transformationssatz auf $\begin{eqnarray*} \int_B\lvert f(x,y)\rvert^p\dd(x,y) \end{eqnarray*}$ an.

30.07.2013, 10:50

Moe.Lee

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RE: Lebesgue Raum Polarkoordinaten
Hallo,
Ich glaube das Grundprinzip habe ich verstanden, jedoch hapert es noch an der Ausführung.

Ich parametrisiere den Kreis mit:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} rcos(\varphi) \\ rsin(\varphi)\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Determinante der Jacobi Matrix:
$\begin{eqnarray*} J_f(r,\varphi) = \begin{pmatrix} cos(\phi) & -rsin(\phi) \\ sin(\phi) & rcos(\phi) \\ \end{pmatrix} \Rightarrow det(J_f(r,\varphi)) = rcos^2(\phi) + rsin^2(\phi) = r \end{eqnarray*}$

Eingesetzt in $\begin{eqnarray*} \int_B\lvert f(x,y)\rvert^p\dd(x,y) <\infty \end{eqnarray*}$ ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! (\frac{1}{\sqrt{r^2(cos^2(\varphi)+sin^2(\varphi)}} r)^p \, dr d\varphi <\infty \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =\int_a^b \! (\frac{r}{r})^p \, dr d\varphi <\infty =\int_0^{2\pi} \int_0^{1} \! 1 \, dr d\varphi <\infty \end{eqnarray*}$

Jetzt ist leider mein $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ weg. Bei den Integrationsgrenzen bin ich mir auch nicht sicher. Ist zumindest der Ansatz korrekt?

Gruß,
Mohammed

30.07.2013, 16:50

Che Netzer

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RE: Lebesgue Raum Polarkoordinaten
Die Integrationsgrenzen sind richtig, sobald du sie eingesetzt hattest.

Die Determinante der Jacobi-Matrix schreibst du aber einfach im Betrag neben den Integranden; also nicht in die $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ -te Potenz hinein.

30.07.2013, 20:38

Moe.Lee

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Hallo,
dann erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} \int _0^{2\pi}\int_0^1 \! (\frac{1}{\sqrt{r^2(cos^2(\varphi)+sin^2(\varphi)}})^p r \, dr d\varphi <\infty =\int _0^{2\pi}\int_0^1 \! \frac{r}{r^p} \, dr d\varphi <\infty =\int _0^{2\pi}\int_0^1 \! r^{1-p} \, dr d\varphi <\infty =\int _0^{2\pi} \frac{1}{2-p} d\varphi <\infty = \frac{2\pi}{2-p} <\infty \forall p \neq 2 \end{eqnarray*}$

Ist das soweit richtig? Scheint ja doch leichter zu sein, als ich gedacht habe.

Gruß,
Mohammed

30.07.2013, 21:24

Che Netzer

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Zitat:

Original von Moe.Lee
$\begin{align*} &=\int _0^{2\pi}\int_0^1 \! r^{1-p} \, dr d\varphi <\infty &=\int _0^{2\pi} \frac{1}{2-p} d\varphi <\infty \end{align*}$

Woher kommt das? Und im Ergebnis kannst du auch ein Problem erkennen: Wenn du dort $\begin{eqnarray*} p>2 \end{eqnarray*}$ einsetzt, erhältst du etwas Negatives, obwohl du eine nichtnegative Funktion integriert hast.

30.07.2013, 21:40

Moe.Lee

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$\begin{eqnarray*} =\int _0^{2\pi}\int_0^1 \! r^{1-p} \, dr d\varphi <\infty =\int _0^{2\pi} \left[\frac{1}{2-p}r^{2-p} \right]_0^1 d\varphi <\infty =\int _0^{2\pi} \frac{1}{2-p} d\varphi <\infty = \left[\frac{\varphi}{2-p} \right]_0^{2\pi} <\infty = \frac{2\pi}{2-p} <\infty \end{eqnarray*}$

Finde jetzt leider keinen Fehler, außer natürlich das es $\begin{eqnarray*} 0<p<2 \end{eqnarray*}$ heißen muss.
Oder muss ich Integrationskonstanten beachten?

Gruß,
Mohammed

30.07.2013, 21:45

Che Netzer

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Zitat:

Original von Moe.Lee
$\begin{eqnarray*} =\int _0^{2\pi} \left[\frac{1}{2-p}r^{2-p} \right]_0^1 d\varphi <\infty =\int _0^{2\pi} \frac{1}{2-p} d\varphi <\infty \end{eqnarray*}$

Zunächst einmal muss dieses komische " $\begin{eqnarray*} <\infty \end{eqnarray*}$ " weg – was hat das dort zu suchen?
Und wieso ist denn $\begin{eqnarray*} \left[r^{2-p}\right]_0^1=1 \end{eqnarray*}$ ? Dort benutzt du schon $\begin{eqnarray*} p<2 \end{eqnarray*}$ .

Und betrachtet ihr wirklich $\begin{eqnarray*} p>0 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} p\geq1 \end{eqnarray*}$ ?

Integrationskonstanten treten bei bestimmten Integralen nicht auf.

30.07.2013, 22:01

Moe.Lee

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$\begin{eqnarray*} <\infty \end{eqnarray*}$
Stammt aus der Formel die ich mir für $\begin{eqnarray*} L^p \end{eqnarray*}$ Räume notiert habe:
$\begin{eqnarray*} f \in L^p([a,b]) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 1\leq p \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_a^b \! |f(x)|^p \, dx < \infty \end{eqnarray*}$

Allerdings sehe ich gerade das dies für $\begin{eqnarray*} 1\leq p \end{eqnarray*}$ gilt, und nach Aufgabenstellung $\begin{eqnarray*} 0<p \end{eqnarray*}$ gilt.

An $\begin{eqnarray*} \left[r^{2-p}\right]_0^1=1^{2-p}-0=1 \end{eqnarray*}$ erkenne ich keinen Fehler.

Gruß,
Mohammed

edit: In Vorlesung und Übung hatten wir auch immer nur Beispiele mit $\begin{eqnarray*} 1\leq p \end{eqnarray*}$ , bis diese Aufgabe in der letzten Klausur gestellt wurde.

30.07.2013, 22:05

Che Netzer

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Zitat:

Original von Moe.Lee
$\begin{eqnarray*} <\infty \end{eqnarray*}$
Stammt aus der Formel die ich mir für $\begin{eqnarray*} L^p \end{eqnarray*}$ Räume notiert habe:

Aber das sollst du doch nicht ans Ende jeder Zeile schreiben. Schon gar nicht, wenn es mit einem Gleichheitszeichen weitergeht.
Was soll denn
$\begin{eqnarray*} \dotso<\infty=\dotso<\infty \end{eqnarray*}$
aussagen?

Zitat:

Allerdings sehe ich gerade das dies für $\begin{eqnarray*} 1\leq p \end{eqnarray*}$ gilt, und nach Aufgabenstellung $\begin{eqnarray*} 0<p \end{eqnarray*}$ gilt.

Für $\begin{eqnarray*} p<1 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} L^p(G) \end{eqnarray*}$ auch gar kein normierter Vektorraum.

Zitat:

An $\begin{eqnarray*} \left[r^{2-p}\right]_0^1=1^{2-p}-0=1 \end{eqnarray*}$ erkenne ich keinen Fehler.

Dann setz mal $\begin{eqnarray*} p=3 \end{eqnarray*}$ ein.
Ist denn $\begin{eqnarray*} \int_0^1\frac1{x^2}\dx=-\left[x^{-1}\right]_0^1=-1 \end{eqnarray*}$ ?
Für $\begin{eqnarray*} p>2 \end{eqnarray*}$ hast du da ein uneigentliches Integral.

30.07.2013, 22:21

Moe.Lee

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Zitat:

Da wäre natürlich ein Equivalenz Symbol besser aufgehoben. $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$

Zitat:

Ok, da hätte ich auch selbst drauf kommen können.

Dann muss also gelten $\begin{eqnarray*} 1 \leq p < 2 \end{eqnarray*}$
Werde das ganze morgen nochmal sauber aufschreiben.
Danke Für deine Hilfe.

Gruß,
Mohammed

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