Untermannigfaltigkeit, Tangentialraum+Normalraum

30.07.2013, 09:37

Robin Hood is good

Untermannigfaltigkeit, Tangentialraum+Normalraum

Meine Frage:
Juten moin. Ob jut oder nicht schreibe ich morgen eine Klausur. Ich beschäftige mich daher noch mit einer Aufgabe zu Untermannigfaltigkeiten. Also:

Es sei $\begin{eqnarray*} M:=\lbrace (x,y,z) \in \mathbb R^3|x^2+y^2+z^2=6, 2y^2+z^2=3 \rbrace \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie, dass M eine Untermannigfaltigkeit von $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ ist. Welche Dimension besitzt sie? Bestimmen Sie außerdem den Tangetialraum $\begin{eqnarray*} T_p M \end{eqnarray*}$ und denn Normalenraum $\begin{eqnarray*} N_p M \end{eqnarray*}$ am Punkt $\begin{eqnarray*} p=(2,-1,1) \in M. \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Wir haben also eine Funktion $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R^3 \mapsto \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} x^2+y^2+z^2-6 \\ 2y^2+z^3-3 \end{pmatrix} \begin{matrix}<br /> :=f_1(x)\\<br /> :=f_2 (x)<br /> \end{matrix} \end{eqnarray*}$

Zur Definition der Untermannigfaltigkeit

$\begin{eqnarray*} (1) M\cap U=\lbrace (x,y,z) \in U|f_1(x,y,z)=0, f_2(x,y,z)=0\rbrace=M \end{eqnarray*}$

Jetzt ist folgendes erfüllt, was ich jedoch nicht ganz verstehe
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \forall p \in M \exists U \text{ s.o. } f_1(x,y,z)=0, f_2(x,y,z)=0 \end{eqnarray*}$ ist somit erfüllt? Wieso?

$\begin{eqnarray*} (2) rg J_{f_1, f_2} (x,y,z)= rg \lbrace \text{ grad }f_1, \text{ grad }f_2\rbrace \end{eqnarray*}$

Jetzt prüfen wir lineare Unabhängigkeit wieso ist mir auch nicht ganz klar:

$\begin{eqnarray*} \alpha \begin{pmatrix} 2x \\ 2y \\ 2z \end{pmatrix}+\beta\begin{pmatrix} 0 \\ 4y \\ 2z \end{pmatrix} \stackrel{\mathrm{!}}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \forall (x,y,z) \in M \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha, \beta \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I \text{ Zeile } \alpha=0 \text{ oder } x=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} II \text{ Zeile } \alpha+2\beta=0 \text{ oder } y=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} III \text{ Zeile } \alpha+\beta=0 \text{ oder } z=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \alpha=\beta=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow rg J_{f_1, f_2}(x,y,z)=2 \end{eqnarray*}$

M ist eine 1-dimensionale Untermannigfaltigkeit. Ich verstehe nicht wie man den Rang bestimmt unglücklich

Und das Lineare Gleichungsystem erscheint mir komisch unglücklich

Wäre nett wenn jemand das checken könnte ob alles richtig ist. Danke schon mal.

30.07.2013, 19:48

Che Netzer

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RE: Untermannigfaltigkeit, Tangentialraum+Normalraum

Zitat:

Original von Robin Hood is good
Jetzt ist folgendes erfüllt, was ich jedoch nicht ganz verstehe
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \forall p \in M \exists U \text{ s.o. } f_1(x,y,z)=0, f_2(x,y,z)=0 \end{eqnarray*}$ ist somit erfüllt? Wieso?

Hier ist $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ sogar global als Nullstellenmenge gegeben; nicht nur lokal (in Umgebungen).
D.h. du kannst $\begin{eqnarray*} U=\mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ wählen.

Zitat:

Jetzt prüfen wir lineare Unabhängigkeit wieso ist mir auch nicht ganz klar:

Zum Wieso: Die wird in der Definition einer Untermannigfaltigkeit gefordert.
Z.B. beschreiben die zwei Gleichungen $\begin{eqnarray*} x+y+z=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2x+2y+2z=0 \end{eqnarray*}$ keine $\begin{eqnarray*} 3-2=1 \end{eqnarray*}$ -dimensionale Untermannigfaltigkeit des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ , sondern eine Ebene.

Zitat:

Ich verstehe nicht wie man den Rang bestimmt unglücklich

Und das Lineare Gleichungsystem erscheint mir komisch unglücklich

Du möchtest ja zeigen, dass (bzw. überprüfen, ob) $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}2x&0\\2y&4y\\2z&2z\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ vollen Rang hat. Wie du das bestimmst, ist dir überlassen. In der Lösung, die du aufgeschrieben hast, wurde die lineare Unabhängigkeit halt direkt anhand der Definition überprüft.
Wichtig ist dabei folgende Erkenntnis: Sind in $\begin{eqnarray*} (x,y,z) \end{eqnarray*}$ zwei Komponenten Null, so kann $\begin{eqnarray*} (x,y,z) \end{eqnarray*}$ nicht in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ liegen.

30.07.2013, 20:04

Robin Hood is good

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RE: Untermannigfaltigkeit, Tangentialraum+Normalraum

Zitat:

Original von Che Netzer

Zitat:

Hier ist $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ sogar global als Nullstellenmenge gegeben; nicht nur lokal (in Umgebungen).
D.h. du kannst $\begin{eqnarray*} U=\mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ wählen.

Aber man kann doch alles gleich Null setzen. Dann ist es doch immer erfüllt. Und was ist unser U eigentlich?

Zitat:

Original von Che Netzer

Zitat:

Original von Robin Hood is good
[quote]Ich verstehe nicht wie man den Rang bestimmt unglücklich

Und das Lineare Gleichungsystem erscheint mir komisch unglücklich

Das verstehe ich nicht. Der Rang hat ja unmittelbar etwas mit der Dimension der Untermannigfaltigkeit zu tun?

30.07.2013, 20:07

Che Netzer

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RE: Untermannigfaltigkeit, Tangentialraum+Normalraum

Zitat:

Original von Robin Hood is good
Aber man kann doch alles gleich Null setzen. Dann ist es doch immer erfüllt. Und was ist unser U eigentlich?

Was willst du gleich Null setzen?

Und $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ist die Umgebung eines Punktes aus $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ , in der wir $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ (lokal) als eine Nullstellenmenge darstellen können.
In diesem Fall können wir mit $\begin{eqnarray*} U=\mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ diese Umgebung unabhängig von diesem Punkt wählen.

Zitat:

Original von Robin Hood is good
Das verstehe ich nicht. Der Rang hat ja unmittelbar etwas mit der Dimension der Untermannigfaltigkeit zu tun?

Ja. Und der Rang der Jacobi-Matrix soll immer Zwei sein, damit $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ eine Untermannigfaltigkeit der Dimension $\begin{eqnarray*} 3-2=1 \end{eqnarray*}$ ist.

30.07.2013, 20:35

Robin Hood is good

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RE: Untermannigfaltigkeit, Tangentialraum+Normalraum

Zitat:

Original von Che Netzer

Zitat:

Original von Robin Hood is good
Aber man kann doch alles gleich Null setzen. Dann ist es doch immer erfüllt. Und was ist unser U eigentlich?

Ja das wird doch gleich Null gesetzt: $\begin{eqnarray*} f_1(x,y,z)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f_2(x,y,z)=0 \end{eqnarray*}$ Damit meinte ich, dass man doch jede Bedingung gleich Null setzen kann, das wäre dann doch immer erfüllt.

Zitat:

Original von Che Netzer

Zitat:

Original von Robin Hood is good
Das verstehe ich nicht. Der Rang hat ja unmittelbar etwas mit der Dimension der Untermannigfaltigkeit zu tun?

Ja. Und der Rang der Jacobi-Matrix soll immer Zwei sein, damit $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ eine Untermannigfaltigkeit der Dimension $\begin{eqnarray*} 3-2=1 \end{eqnarray*}$ ist.

Ich verstehe nicht wie man allgemein den Rang einer Matrix bestimmt. Wie würde das hier laufen?

30.07.2013, 21:22

Che Netzer

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RE: Untermannigfaltigkeit, Tangentialraum+Normalraum

Zitat:

Original von Robin Hood is good
Damit meinte ich, dass man doch jede Bedingung gleich Null setzen kann, das wäre dann doch immer erfüllt.

Was für Bedingungen? Man kann Funktionen bzw. Terme gleich Null setzen.
Und durch $\begin{eqnarray*} g_1(x,y,z)=g_2(x,y,z)=0 \end{eqnarray*}$ wird genau dann eine (eindimensionale) Untermannigfaltigkeit des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ definiert, wenn $\begin{eqnarray*} (\nabla g_1,\nabla g_2) \end{eqnarray*}$ auf der gesamten gemeinsamen Nullstellenmenge den Rang Zwei hat. Wenn das gilt, kann man also mit der Nullstellenmenge zweier (ansonsten) beliebiger Funktionen eine Untermannigfaltigkeit beschreiben. Hier haben wir allerdings schon zwei Funktionen gegeben und müssen überprüfen, ob die oben genannte Anforderung erfüllt ist.
Oder was meinst du?

Zitat:

Original von Robin Hood is good
Ich verstehe nicht wie man allgemein den Rang einer Matrix bestimmt.

Dann solltest du das zuerst üben. Du kannst danach z.B. in unserem Algebra-Unterforum fragen.

30.07.2013, 22:18

Robin Hood is good

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RE: Untermannigfaltigkeit, Tangentialraum+Normalraum

Zitat:

Original von Che Netzer

Zitat:

Original von Robin Hood is good
Damit meinte ich, dass man doch jede Bedingung gleich Null setzen kann, das wäre dann doch immer erfüllt.

Ja $\begin{eqnarray*} g_1(x,y,z)=g_2(x,y,z)=0 \end{eqnarray*}$ muss halt gelten.

Zitat:

Original von Che Netzer

Zitat:

Original von Robin Hood is good
Ich verstehe nicht wie man allgemein den Rang einer Matrix bestimmt.

Dann solltest du das zuerst üben. Du kannst danach z.B. in unserem Algebra-Unterforum fragen.

Ob mir da noch einer antwortet ich schreibe morgen früh die Klausur.

30.07.2013, 22:22

Che Netzer

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RE: Untermannigfaltigkeit, Tangentialraum+Normalraum

Zitat:

Original von Robin Hood is good
Ob mir da noch einer antwortet ich schreibe morgen früh die Klausur.

Fang beim nächsten Mal früher zu lernen an unglücklich

Naja, du kannst dir z.B. überlegen, ob
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}2x&0\\2y&4y\\2z&2z\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
nach elementaren Spaltenumformungen eine Nullspalte besitzen kann (dann wäre der Rang höchstens $\begin{eqnarray*} 2-2=1<2 \end{eqnarray*}$ ).
Oder mehr als eine Nullzeile.

Das kann nur dann passieren, wenn zwei der Variablen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ Null sind. Dann kann der Punkt, an dem die Jacobi-Matrix nicht Rang Zwei hat, aber nicht in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ liegen.

30.07.2013, 22:33

Robin Hood is good

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RE: Untermannigfaltigkeit, Tangentialraum+Normalraum

Zitat:

Original von Che Netzer

Zitat:

Original von Robin Hood is good
Ob mir da noch einer antwortet ich schreibe morgen früh die Klausur.

Fang beim nächsten Mal früher zu lernen an unglücklich

Immer dieses uneindeutige unglücklich

höchstens...

Zitat:

Original von Che Netzer
Oder mehr als eine Nullzeile.

Das kann nur dann passieren, wenn zwei der Variablen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ Null sind. Dann kann der Punkt, an dem die Jacobi-Matrix nicht Rang Zwei hat, aber nicht in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ liegen.

Das verstehe ich nicht.

30.07.2013, 22:43

Che Netzer

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RE: Untermannigfaltigkeit, Tangentialraum+Normalraum

Zitat:

Original von Robin Hood is good
Immer dieses uneindeutige unglücklich

höchstens...

Was will man denn mehr? Da der Rang hier maximal Zwei sein kann, ist "Der Rang ist höchstens Eins" das genaue Gegenteil von "Der Rang ist Zwei".

Zitat:

Das verstehe ich nicht.

Was daran?

Aber vielleicht ist es besser, für die morgige Klausur etwas anderes zu lernen, wofür du keine Begriffe aus der linearen Algebra brauchst, die du dann auch noch wiederholen musst.

30.07.2013, 22:45

Robin Hood is good

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na schön, danke

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