Gewöhnliche Differentialgleichung 1. Ordnung

30.07.2013, 14:38

Makiaveli

Gewöhnliche Differentialgleichung 1. Ordnung

Meine Frage:
Hallo Forum,
Ich übe für eine Klausur und bin nun bei einem neuen Thema angelangt.,, nämlich Differentialgleichungen. Das verstehe ich leider überhaupt nicht.
Ich habe mir jetzt schon ewig lange Videos und andere Seiten durchgelesen, aber das ist mir irgendwie alles zu kompliziert erklärt.
Die meisten meiner Übungsaufgaben sehen vom Prinzip so aus:
Gegeben sei folgende Anfangswertaufgabe:
$\begin{eqnarray*} x\cdot y'+y = x \cdot cos(x) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} y(\pi)=17 \end{eqnarray*}$
a) Bestimmen sie die allgemeine Lösung der homogenen DGL: $\begin{eqnarray*} x\cdot y'+y = 0 \end{eqnarray*}$ .

b) Bestimmen sie die allgemeine Lösung der inhomogenen DGL durch Variation der Konstanten.

c) Berechnen sie die Anfangswertaufgabe.

Meine Ideen:
Vom Prinzip her weiß ich was gesucht ist:
a) Die Funktion y, auf die diese DGL zutrifft.
b) Hierzu brauch ich die Lösung aus a). Und Variation der Konstanten jeißt, dass ich aus der Konstanten eine Funktion mache.
c) Hier suche ich die genaue Lösung der Konstanten, damit genau 17 rauskommt, wenn ich pi einsetze.

Ich habe aber leider keinen blassen Schimmer, wie ich das allerdings alles lösen soll.
Es wäre wirklich super nett, wenn jemand versuchen könnte mir das zu erklären.
Mir geht es dabei überhaupt nicht um diese Lösung der Aufgabe speziell, dies sollte nur als Beispiel dienen, welchen Aufgabentyp ich lösen können muss.
Vielen Dank!

30.07.2013, 16:28

Mulder

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RE: Gewöhnliche Differentialgleichung 1. Ordnung

Zitat:

Original von Makiaveli
Ich habe aber leider keinen blassen Schimmer, wie ich das allerdings alles lösen soll.!

Hmm ja... da gestaltet sich der Einstieg in den Thread dann irgendwie schwierig. Augenzwinkern

Also die a) geht ja sehr bequem mit Trennung der Variablen (die DGL ist ja homogen). Das ist ja noch so ziemlich die einfachste Variante, die es beim Lösen von DGLn gibt. Kriegst du das hin? Versuch's mal. Der Ansatz ist ja immer derselbe: Erstmal alle y auf die linke Seite der Gleichung und alle x auf die rechte Seite bringen. Und dann einfach integrieren.

In der Tat brauchst du das Ergebnis dann in der b), wenn du dort VdK benutzen möchtest.

Variation der Konstanten braucht man in der b) eigentlich gar nicht unbedingt. Wenn man hinsieht und an die Produktregel denkt, kann man sich das Leben ungemein erleichtern. Aber zum Üben kann man natürlich auch da VdK verwenden und wenn du da noch Probleme hast, bietet es sich auch an, das zu tun.

31.07.2013, 14:07

Makiaveli

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Danke für die Antwort!
Das Problem ist halt, dass ich die Klausur letztes Semester geschoben habe und der Prof seinen Stoff leicht verändert hat. Jetzt fragt er halt leider DGL ab und nicht mehr komplexe Zahlen und Matrizen, leider.

Also zu a habe ich jetzt folgendes:

$\begin{eqnarray*} x*y'+y=0 \Rightarrow \frac{y}{dy}=x*dx \end{eqnarray*}$ das dann integriert ergibt:
$\begin{eqnarray*} -\int \! \frac{y}{dy} = \int\! x*dx \Rightarrow \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} - ??? = \frac{x^{2} }{2}+C1 \end{eqnarray*}$
Ich weiß grad nicht, wie ich die linke Seite mit dem geteilt durch dy intergrieren soll. Bei z.B. dy / y verwendet man ja den ln, aber umgedreht weiß ich das nicht.

31.07.2013, 19:04

Mulder

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Zitat:

Original von Makiaveli
Ich weiß grad nicht, wie ich die linke Seite mit dem geteilt durch dy intergrieren soll.

Kein Wunder, das ist auch ein völlig sinnloser Ausdruck. Mir ist auch nicht ganz klar, wie du da bloß hingekommen bist.

$\begin{eqnarray*} xy'+y=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x \frac{\dd y}{\dd x} = -y \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} - \frac 1 y \, \dd y = \frac{1}{x} \, \dd x \end{eqnarray*}$

01.08.2013, 14:05

Makiaveli

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Ah, ok dann hab ich mich ja komplett verrechnet.
Wie bist du genau auf die -1/y dy gekommen?

Also würde a) dann folgender Maßen aussehen:

$\begin{eqnarray*} -\int \! \frac{1}{y} \, dy = \int \! \frac{1}{x} \, dx \end{eqnarray*}$ und dann auflösen:

$\begin{eqnarray*} -ln(y) = ln(x)\Rightarrow y = -e^{ln(x)-C} \end{eqnarray*}$

Stimmt das hoffentlich so?

01.08.2013, 17:02

Mulder

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Zitat:

Original von Makiaveli
Wie bist du genau auf die -1/y dy gekommen?

Durch ganz elementare Äquivalenzumformungen (Multiplikation, Division). Rechne es nochmal in Ruhe nach, das schaffst du schon.

Zitat:

Original von Makiaveli
Also würde a) dann folgender Maßen aussehen:

$\begin{eqnarray*} -\int \! \frac{1}{y} \, dy = \int \! \frac{1}{x} \, dx \end{eqnarray*}$ und dann auflösen:

$\begin{eqnarray*} -ln(y) = ln(x)\Rightarrow y = -e^{ln(x)-C} \end{eqnarray*}$

Stimmt das hoffentlich so?

Nein, das ist wieder falsch. Das Minus wandert in den Exponenten, wenn du auf beiden Seiten der Gleichung "e hoch" rechnest.

Ansonsten kannst du das ja auch alles leicht selber überprüfen, indem du deine Ergebnisse für y mal in die DGL einsetzt und schaust, ob es hinhaut.

02.08.2013, 14:05

Makiaveli

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Ich glaub ich hab das jetzt verstanden wie du darauf gekommen bist.

Achja, klar, also ist die Lösung dann:

$\begin{eqnarray*} y = e^{-ln(x)-C} \end{eqnarray*}$ .

Gut das war dann soweit Aufgabe a) oder?

Dann versuche ich jetzt mal b) mit VdK zu lösen. Wenn du da irgendwelche Tipps

oder Vorschläge hast, sehr gerne Augenzwinkern

Und danke, dass du so geduldig bist und mir hilfst! Freude

02.08.2013, 14:34

Makiaveli

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Kurze Korrektur:

Y steht ja noch im Betrag oder?

Also sieht die Lösung der homogenen so aus:

$\begin{eqnarray*} y=\pm e^{-C} \cdot | x | \end{eqnarray*}$ , die verbliebene e-Funktion kann ich noch zum beliebigen Wert K umformen, sodass es schließlich so aussieht:

$\begin{eqnarray*} y=K \cdot | x | \end{eqnarray*}$ .

Ist das mit dem Betragszeichen bei x richtig oder kann man das auch noch irgendwie wegmachen?

02.08.2013, 14:52

Mulder

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Das ist auch falsch. unglücklich

$\begin{eqnarray*} e^{- \ln(x)} \end{eqnarray*}$ ergibt doch nicht $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , das ergibt $\begin{eqnarray*} \frac 1 x \end{eqnarray*}$ .

Der Betrag kann hier auch weggelassen werden. Du bist sowieso auf dem Intervall x>0, denn für x=0 ist y nicht definiert und du musst wegen der Anfangsbedingung, die gegeben ist, auf dem Existenzintervall x>0 bleiben (weil pi >0 ist)

$\begin{eqnarray*} y = \frac C x \end{eqnarray*}$

löst die homogene DGL.

Ich kann's nur nochmal betonen: Kontrollier deine Ergebnisse durch Einsetzen in die DGL. Dann sieht man sofort, ob es falsch ist.

Zu b) habe ich keine Vorschläge, das ist stures Runterrechnen. Das C lässt du variieren, machst daraus also eine nicht konstante Funktion c(x) und setzt das in die DGL ein. Dann nach c'(x) auflösen und integrieren, fertig.

02.08.2013, 16:01

Makiaveli

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...Ich hasse DGL, warum kann der Prof nicht wieder Matrizen machen?^^

Stimmt, hab das Minus wieder übersehen...

Aber ich glaube Aufgabe b habe ich richtig gelöst:

Es ist ja folgende inhom DGL gegeben: $\begin{eqnarray*} x*y'+y=x*cos(x) \end{eqnarray*}$ .

Die Lösung der hom DGL ist ja jetzt $\begin{eqnarray*} y=\frac{C}{x} \end{eqnarray*}$ .

Die Ableitung davon ist dann: $\begin{eqnarray*} y'=\frac{C'(x)*x-C(x)}{x^{2} } \end{eqnarray*}$ .

Beides wird jetzt eingesetzt und gekürzt, dann ergibt das:

$\begin{eqnarray*} C'(x)=x*cos(x) \end{eqnarray*}$ .

Das wird jetzt integriert und man erhält:

$\begin{eqnarray*} C(x)=x*sin(x)+cos(x)+K \end{eqnarray*}$ .

Das wird jetzt in die vorläufige Lösung eingesetzt:

$\begin{eqnarray*} y=\frac{x*sin(x)+cos(x)+K}{x} \end{eqnarray*}$ .

Und das müsste es doch gewesen sein.

Also wenn das jetzt falsch ist spring ich aus dem Fenster...

02.08.2013, 17:16

Mulder

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Ist richtig. Die Anfangswertbedingung musst du jetzt noch in der c) verarbeiten, sprich das $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ so wählen, dass $\begin{eqnarray*} y( \pi)=17 \end{eqnarray*}$ gilt. Aber das ist ja nun kein Problem mehr, denke ich.

Ich hatte ja oben schon angesprochen, dass es hier bei dieser speziellen DGL auch etwas schneller geht, wenn man genau hinsieht:

$\begin{eqnarray*} xy'+y= x \cos(x) \end{eqnarray*}$

Das auf der linken Seite der Gleichung ist - wirf noch mal einen Blick auf die Produktregel - genau die Ableitung vom Produkt $\begin{eqnarray*} xy \end{eqnarray*}$ . Man kann also auch schreiben:

$\begin{eqnarray*} (xy)' = x \cos(x) \end{eqnarray*}$

und damit (Hauptsatz der Analysis):

$\begin{eqnarray*} x y = \int x \cdot \cos(x) \, \dd x \end{eqnarray*}$

Integrieren auf der rechten Seite, dann durch x teilen, und fertig. So kommt man auch ohne Variation der Konstanten oder Trennung der Variablen an das $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ .

03.08.2013, 13:38

Makiaveli

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Na immerhin das hab ich hinbekommen^^

Auf jeden Fall, vielen vielen Dank, dass du mir geholfen hast. Freude

Ich habe die DGL 1. Ordnung jetzt einigermaßen verstanden. Noch ein paar mehr Übungsaufgaben und ich sollte das bis zur Klausur hinbekommen.
Als nächstes kommen die DGL n-ter Ordnung, da werde ich garantiert auch etwas posten^^

Gruß

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