Prinzip! Grenzwert

30.07.2013, 16:50

Best15

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Grenzwert

Meine Frage:
Hallo ich stecke bei einer Aufgabe fest:

Bestimmen sie den Grenzwert der Folge:

$\begin{eqnarray*} a_{n} = \sqrt{n^2+n}-\sqrt{n^2 -n} \end{eqnarray*}$

Ich habe den term komplex erweitert und dann das stehen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{2n}{\sqrt{n^2+n}+\sqrt{n^2 - n} } = \lim_{n \to \infty } \frac{2}{\sqrt{n + 1}+\sqrt{n^2 - n} } \end{eqnarray*}$

Wie gehe ich genau weiter vor?

Meine Ideen:
gepostet

30.07.2013, 16:56

watcher

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Hallo,

Zitat:

Ich habe den term komplex erweitert und dann das stehen:

Ich seh hier nirgends komplexe Zahlen. Was hast du genau gemacht?

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{2n}{\sqrt{n^2+n}+\sqrt{n^2 - n} } = \lim_{n \to \infty } \frac{2}{\sqrt{n + 1}+\sqrt{n^2 - n} } \end{eqnarray*}$

Wieso soll das gelten?
Wie versuchst du hier umzuformen?

30.07.2013, 16:58

Best15

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Ich habe durch n geteilt Zähler und Nenner .

Und dann den rechten Teil stehen.

Stimmt es ?

P:S Ich hatte konjugiert komplex erweitert.

30.07.2013, 17:07

watcher

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Wie bereits erwähnt, hier kommen keinerlei komplexe Zahlen vor.
$\begin{eqnarray*} \sqrt{n^2+n}+\sqrt{n^2 -n} \end{eqnarray*}$ ist nicht das komplex konjugierte zu $\begin{eqnarray*} a_{n} = \sqrt{n^2+n}-\sqrt{n^2 -n} \end{eqnarray*}$ , da n eine natürliche Zahl ist sind beides reelle Zahlen.
Du wendet hier die dritte binomische Formel an.

Zitat:

Ich habe durch n geteilt Zähler und Nenner .

Richtiger Ansatz, Ausführung furchtbar.

Beim Kürzen muss jeder Summand gekürtzt werden, d.h.
$\begin{eqnarray*} \frac{na}{nb+nc}=\frac{a}{b+c} \neq \frac{a}{b+nc} \end{eqnarray*}$
außerdem gilt $\begin{eqnarray*} \sqrt{n^2}=n \end{eqnarray*}$

30.07.2013, 17:11

Best15

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Ist leider ein Fehler beim tippen entsatnden .

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \frac{2n}{\sqrt{n^2+n}+\sqrt{n^2 - n} } = \lim_{n \to \infty } \frac{2}{\sqrt{n + 1}+\sqrt{n-1} } \end{eqnarray*}$

Jetzt stimmt , Aber was muss ich genau als nächstes machen?

Das macht mir probleme.

30.07.2013, 17:16

watcher

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Es stimmt immer noch nicht, sämtliche Bemerkungen von vorher gelten immer noch.

Du klammerst im Nenner nur $\begin{eqnarray*} \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ aus, im Zähler aber n.
Klammere n aus.

P.S. Wenn du einen Term hättest wie in deinem letzten Post:
Limes-Rechenregeln für Brüche beachten. Limes für Nenner und Zähler separat berechnen.

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30.07.2013, 17:21

Best15

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Wenn ich nach dem linken schritt unten am nenner n ausklammere ,habe ich das tehen :

Würde es so stimmen?

30.07.2013, 17:27

watcher

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Zum dritten Mal, nein das ist falsch.
Du klammerst nur $\begin{eqnarray*} \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ aus.
Du sollst aber n ausklammern.

Es ist
$\begin{eqnarray*} \sqrt{n^2\pm n}=\sqrt{n(n\pm 1)}=\sqrt{n}\sqrt{n\pm 1} \end{eqnarray*}$
Und
$\begin{eqnarray*} a(b+c)=ab+ac\neq \sqrt{a}b+\sqrt{a}c \end{eqnarray*}$

30.07.2013, 17:32

Best15

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Jetzt müsste mein vorgehen stimmen oder?

30.07.2013, 17:38

watcher

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In der ersten Zeile fehlen im Nenner Klammern.

Ansonsten ist es genau das selbe das du vorher bereits geschrieben hast und ist nach wie vor genau so falsch.
Was falsch ist hab ich hier im Thread bereits mehrfach geschrieben.

Wenn jemand anders eine Idee hat wie man Best15 erklären kann was hier falsch ist bitte gerne.

30.07.2013, 17:46

Best15

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Kannich eigentlich nicht im nenner einfach die Wurzel ziehen ?

Dann hätte ich das stehen.

30.07.2013, 17:53

watcher

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Zitat:

Kannich eigentlich nicht im nenner einfach die Wurzel ziehen ?

Kannst du gerne machen. Ergibt halt einen nicht-äquivalenten Term

Im Allgemeinen ist:
$\begin{eqnarray*} \sqrt{a+b} \neq \sqrt{a}+\sqrt{b} \end{eqnarray*}$ .

Bitte befasse dich mit Wurzelrechelregeln.

30.07.2013, 17:54

Best15

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kannst du mir nicht einfach den nächsten schritt zeigen ?

Sonst komme ich nie auf meinen Fehler.

Damit ich weiter komme? geschockt

geschockt

30.07.2013, 17:59

watcher

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Ich habe bereits gesagt was zu tun ist, n im Nenner ausklammern.

Ich sehe keinerlei Nutzen dir die Aufgabe vorzurechnen,
insbesondere da ich mich hier eigentlich die ganze nur wiederholen durfte;
Und da du dir eine ganze Minute Zeit genommen hast dich mit meinem letzten Post zu befassen.

Siehe z.b. auch:
Prinzip "Mathe online verstehen!"

30.07.2013, 18:22

Nofeykx

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Zitat:

Wenn jemand anders eine Idee hat wie man Best15 erklären kann was hier falsch ist bitte gerne.

Ich versuchs mal:

Mal ein anderes Beispiel: Du hast $\begin{eqnarray*} \frac{n}{\sqrt{n}} \end{eqnarray*}$ . Wenn du da jetzt $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ herauskürzt und das so machst, wie du es nunmal machst, steht da doch $\begin{eqnarray*} \frac{n}{\sqrt{n}} = \frac{n\cdot\frac{1}{n}}{\sqrt{n}\cdot\frac{1}{n}} = \frac{1}{1} = 1 \end{eqnarray*}$ oder was? Ich hoffe dir wird jetzt klar, warum das falsch ist, was du da machst. (Das nur zwischendurch, du kannst gerne wieder übernehmen, watcher Engel

Engel

)

30.07.2013, 18:25

Iorek

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Zitat:

Original von watcher
Wenn jemand anders eine Idee hat wie man Best15 erklären kann was hier falsch ist bitte gerne.

Der Gastuser ist im Board bestens bekannt, mehrfach durch seine Lernresistenz aufgefallen. Wie in allen anderen Fällen wird auch dieser Thread geschlossen; das Matheboardteam behält sich vor, solche Threads in Zukunft auch ohne weitere Ankündigung zu schließen.

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