Probleme beim Integral

30.07.2013, 17:29

Elvandy100

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Probleme beim Integral

Hi,

versuche gerade eine Integral zu lösen, die Aufgabenstellung lautet:

Bestimmen Sie alle Stammfunktionen zu $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{1-e^{3x}} \end{eqnarray*}$

Hinweis: Erweitern Sie den Bruch mit $\begin{eqnarray*} e^{-3x} \end{eqnarray*}$ .

Und verstehe ich das richtig das mit "alle Stammfunktionen" auf das + C aufmerksam gemacht wird ? Oder wie meinen die das ?

Also wenn ich den Bruch erweitere erhalte ich ja :

$\begin{eqnarray*} \int\frac{e^{-3x}}{(1-e^{3x})*(e^{-3x}) }dx \end{eqnarray*}$

Muss ich das noch zusammen fassen oder kann ich jetzt schon mit der Substitution abfangen ?

30.07.2013, 17:32

yahuu14

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Ja alle Stammfunktionen heißt Konstante C Allgemein dazustehen zu lassen. Eine Stammfunktion wäre z.b. mit c=0 gewählt.

Mal ne Frage steht im Exponenten nur 3 oder sollte da 3x stehen ?

30.07.2013, 17:38

Elvandy100

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Oh hast recht habe ich übersehen !

Habe ich verbessert!

30.07.2013, 17:42

yahuu14

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Kannst du noch einmal bitte kurz deine Ausgangsfunktion überprüfen ob die korrekt ist, das verwirrt mich gerade.

30.07.2013, 17:46

original

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RE: Probleme beim Integral
$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{1-e^{3x}} \end{eqnarray*}$ smile

smile

Zitat:

Original von Elvandy100

Also wenn ich den Bruch erweitere erhalte ich ja :

$\begin{eqnarray*} \int\frac{e^{-3x}}{(1-e^{3x})*(e^{-3x}) }dx \end{eqnarray*}$

Muss ich das noch zusammen fassen..

verwirrt

..wenn du mit Zusammenfassen meinst:
das Produkt im Nenner ausmultiplizieren
dann liegst du einigermassen auf der gewünschten Linie

.. denn im Zähler steht dann fast die Ableitung des Nenners Wink

Wink

und das dürfte dir weiterhelfen .. oder?
.

30.07.2013, 17:47

Elvandy100

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oh man sorry hatte oben auch vergessen die { } zusetzen.

aber jetzt stimmt es

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30.07.2013, 18:00

yahuu14

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Also ich weiss jetzt nicht wieso man erweitern muss, weil ich auch ganz schnell mit substitution auf das ergebnis komm. Da muss dir jemand weiterhelfen, ich weiss nicht wo die idee dahinter steckt. Letztendlich läuft es bei mir auf pbz hinaus.

30.07.2013, 18:09

10001000Nick1

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Das Erweitern soll man wahrscheinlich machen, damit man danach die folgende Integrationsregel anwenden kann: $\begin{eqnarray*} \int \! \frac{f'(x)}{f(x)} \, dx =\ln(|f(x)|) \end{eqnarray*}$

30.07.2013, 18:13

original

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Zitat:

Original von yahuu14

jemand weiterhelfen, ich weiss nicht wo die idee dahinter steckt...

smile

die Idee, die dahinter steckt, habe ich oben schon formuliert:

"... denn im Zähler steht dann fast die Ableitung des Nenners" Prost

Prost

denk darüber nach.

30.07.2013, 18:13

Elvandy100

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Wenn ich das ausmultipliziere habe ich folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} \int\frac{e^{-3x}}{e^{-3x}-1} \end{eqnarray*}$

und das ist jaaaa fast die ableitung vom Zähler nur das die 3 fehlt oder ?

30.07.2013, 18:19

original

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Zitat:

Original von Elvandy100
Wenn ich das ausmultipliziere habe ich folgendes raus:

$\begin{eqnarray*} \int\frac{e^{-3x}}{e^{-3x}-1} \end{eqnarray*}$ geschockt

geschockt

und das ist jaaaa fast die ableitung vom Zähler nur das die 3 fehlt oder ? unglücklich

unglücklich

unglücklich

... der Faktor - 3 fehlt Wink

Wink

und natürlich das Differential dx geschockt

geschockt

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{3} \cdot \int\frac{-3\cdot e^{-3x}}{e^{-3x}-1}dx \end{eqnarray*}$

.

30.07.2013, 18:58

Elvandy100

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Ich glaube das hätte gedauert bis ich das so gemacht hätte =) obwohl das ganz klar ist.

Aber ich habe da noch ein Problem und zwar habe ich als Lösung:

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{3}*ln|e^{-3x}-1| + c \end{eqnarray*}$ raus.

Aber wenn ich mit einem Integralrechner ausrechne bekomme ich :

$\begin{eqnarray*} x-\frac{1}{3}*ln|e^{3x}-1| + c \end{eqnarray*}$

und ich finde einfach meinen fehler nicht verwirrt

verwirrt

habe das nach der Substitutionsmethode Typ 3 gemacht und da steht

$\begin{eqnarray*} \int{\frac{f'(x)}{f(x)}}dx = \int{\frac{dt}{t}} = ln|t| + C = ln|f(x)| + C \end{eqnarray*}$

und genau das habe ich gemacht !

30.07.2013, 19:01

HAL 9000

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Zitat:

Original von Elvandy100
Aber ich habe da noch ein Problem und zwar habe ich als Lösung:

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{3}*ln|e^{-3x}-1| + c \end{eqnarray*}$ raus.

Aber wenn ich mit einem Integralrechner ausrechne bekomme ich :

$\begin{eqnarray*} x-\frac{1}{3}*ln|e^{3x}-1| + c \end{eqnarray*}$

und ich finde einfach meinen fehler nicht verwirrt

verwirrt

Es gibt da keinen Fehler. Nur eine mangelhafte Kenntnis der Logarithmen- und Potenzgesetze, welche die Erkenntnis verhindert, dass beide Ausdrücke gleich sind. Augenzwinkern

Augenzwinkern

30.07.2013, 19:12

Elvandy100

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hehe ok

Augenzwinkern

kann das sein das es was damit zu tun hat das $\begin{eqnarray*} ln|e^{-3x}| \end{eqnarray*}$ = -3x ist ?

wäre nett wenn du mir sagen kannst wie das vereinfacht wurde ? smile

smile

30.07.2013, 19:14

HAL 9000

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Zitat:

Original von Elvandy100
kann das sein das es was damit zu tun hat das $\begin{eqnarray*} ln|e^{-3x}| \end{eqnarray*}$ = -3x ist ?

Das hat es in der Tat: Es ist $\begin{eqnarray*} e^{-3x}-1 = e^{-3x}\left( 1-e^{3x} \right) \end{eqnarray*}$ und somit

$\begin{eqnarray*} \ln\left| e^{-3x}-1 \right| = \ln\left( e^{-3x} \left| e^{3x}-1 \right| \right) = \ln\left( e^{-3x} \right) + \ln \left| e^{3x}-1 \right| = -3x + \ln \left| e^{3x}-1 \right| \end{eqnarray*}$

30.07.2013, 19:22

Elvandy100

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ah ok =)

vielen dank euch allen Wink

Wink

30.07.2013, 19:25

Gibbert1

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hi ich komm auf

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3}*ln (|e^{3x}-1|) -x + c \end{eqnarray*}$

ist das falsch oder gleich ?

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