DGL 1 Ordnung/ Substitution

30.07.2013, 17:30

Marvin136532

DGL 1 Ordnung/ Substitution

Meine Frage:
Hallo zusammen,

mir liegt folge Aufgabe vor $\begin{eqnarray*} y' = \frac{t+2y}{t} \end{eqnarray*}$ .
Ich soll bestimmen, ob die Gleichung homogen ist und die allgemeine Lösung bestimmen.

Meine Ideen:
Ich dachte mir zunächst, dass das ja keine schwere DGL sein kann, kam dann aber doch nicht weiter.

zunächst habe ich die Homogenität bestimmt.

$\begin{eqnarray*} f(\alpha t,\alpha y)=\frac{\alpha t + \alpha 2y}{\alpha t} =\frac{\alpha (t + 2y)}{\alpha t} = \alpha^{0}\frac{ (t + 2y)}{ t} \end{eqnarray*}$

homogone Fkt. 0 Grades ?! // Ist doch richtig oder?

Hier meine Schritte für die allgemeine Lösung

$\begin{eqnarray*} (1.) y' = \frac{t+2y}{t}= 1+\frac{2y}{t} \end{eqnarray*}$

Substitution:
$\begin{eqnarray*} (2.) u = \frac{2y}{t} \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} y = \frac{ut}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (3.) y' = \frac{u't}{2}+\frac{u}{t} \end{eqnarray*}$ // Ist hier der Fehler?

und setze das in meine ursprüngliche DGL ein und erhalte schließlich

$\begin{eqnarray*} (4.) u' = \frac{1}{t}+\frac{u}{t} \end{eqnarray*}$

tja und hier kam ich dann nicht weiter. Ich hatte mir gedacht, dass ich vielleicht nochmal subtituieren müsse, da kam aber nur verrückte Sachen raus. Kann mir jemand helfen?

Vielen Dank bereits im Voraus!
Gruss,
Marvin

30.07.2013, 17:44

Alaster

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Du hast $\begin{eqnarray*} y(t) = \frac{1}{2}u(t)t \end{eqnarray*}$ . Jetzt leitest du nach $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ ab, also $\begin{eqnarray*} \frac{dy}{dt}(t) = \frac{1}{2}(u'(t)t + u(t)) \end{eqnarray*}$ (Produktregel).

Die Differentialgleichung kannst du doch aber recht einfach durch Trennung der Variablen lösen.

30.07.2013, 18:07

original

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RE: DGL 1 Ordnung/ Substitution

Zitat:

Original von Marvin136532

mir liegt folge Aufgabe vor $\begin{eqnarray*} y' = \frac{t+2y}{t} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} y' = 1+2\cdot \frac{y}{t} \end{eqnarray*}$ ist eine sog. Ähnlichkeits-DGL

substituiere u=y/t
und du erhältst die DGL $\begin{eqnarray*} t\cdot u' = 1+u \end{eqnarray*}$

die du durch TdV sofort lösen kannst smile

30.07.2013, 18:13

Marvin3284895

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Vielen Dank!

Hatte ich schon vermutet, dass ich da was falsch gemacht habe.
Ja klar so kann ich das dann einfach mit TdV lösen.

30.07.2013, 18:33

Marvin3284895

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ich habs doch noch nicht verstanden bin ja genau da wo ich vorher war:

also wenn ich das mit TdV probiere habe ich ja noch ein p(t)- Glied welches ich dann null setzte richtig?!

$\begin{eqnarray*} u'= \frac{1+u}{t} -> u'-\frac{u}{t}=\frac{1}{t}(=p(t)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p(t)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u'-\frac{u}{t}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u'/u=\frac{1}{t} \end{eqnarray*}$

Integration:

$\begin{eqnarray*} ln u = ln t + c \end{eqnarray*}$ -> $\begin{eqnarray*} u = t + c \end{eqnarray*}$

Rücksubstituieren
$\begin{eqnarray*} y= ut =( t + c )t \end{eqnarray*}$

Lösung laut Wolfram Alpha ist aber $\begin{eqnarray*} y= ( ct-1 )t \end{eqnarray*}$

HILFE!!!! ICH BIN ZU DUMM !!!!

30.07.2013, 22:57

original

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$\begin{eqnarray*} y' = \frac{t+2y}{t} \end{eqnarray*}$ .

also versuch ich es nochmal ganz langsam:

$\begin{eqnarray*} y' = 1+ 2\cdot \frac{y}{t} \end{eqnarray*}$ .

Substitution u= y/t ... also y= t*u => y' = t*u' + u ... (gemäss Produktregel)

eingesetzt ergibt das dann

$\begin{eqnarray*} t \cdot u' +u = 1+ 2\cdot u \end{eqnarray*}$

oder
$\begin{eqnarray*} t \cdot \frac{du}{dt} = 1+ u \end{eqnarray*}$

und nach Trennung der Variablen:

$\begin{eqnarray*} \frac{du}{u+1} = \frac{dt}{t} \end{eqnarray*}$

so - und jetzt hoffe ich, dass du alleine weiter machen kannst (integrieren .. usw..)

ok?

was bekommst du dann .. -> ?

traurig

oh -> sieh da ! -> Immernoch DGL 1 Ordnung/ Substitution

also: wenn du nicht in der nächsten halben Stunde reagierst,
werde ich meine obige Antwort wieder löschen Wink

30.07.2013, 23:26

Marvin24249

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Ich raff das nicht also bis zu $\begin{eqnarray*} \frac{du}{u+1} = \frac{dt}{t} \end{eqnarray*}$ läuft alles.

und nach der Integration erhalte ich $\begin{eqnarray*} ln(1+u)= ln(t)+c \end{eqnarray*}$

zu $\begin{eqnarray*} 1+u= t+c \end{eqnarray*}$

dann ist $\begin{eqnarray*} u = C+t-1 \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} y= u t = (C+t-1)t = Ct + t^2 - t \end{eqnarray*}$

.... Ich versteh nicht was ich falsch mache

30.07.2013, 23:53

original

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Zitat:

Original von Marvin24249
Ich raff das nicht also bis zu $\begin{eqnarray*} \frac{du}{u+1} = \frac{dt}{t} \end{eqnarray*}$ läuft alles.

und nach der Integration erhalte ich $\begin{eqnarray*} ln(1+u)= ln(t)+c \end{eqnarray*}$ verwirrt

zu $\begin{eqnarray*} 1+u= t+c \end{eqnarray*}$ geschockt

das ist ja noch bis auf die fehlenden Betragsstriche richtig ->

$\begin{eqnarray*} ln|1+u|= ln|t|+c_{1} \end{eqnarray*}$

aber dann kommt der absolute Gau ->
manche bekommen schon während der Schulzeit gerüchteweise mit,
dass es sowas wie Logarithmengesetze geben soll ..

Beispiel: mit c1= ln|c| bekommst du
$\begin{eqnarray*} ln|1+u|= ln|t| +ln|c| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ln|1+u|= ln|c\cdot t| \end{eqnarray*}$
=>
$\begin{eqnarray*} 1+u= c \cdot t \end{eqnarray*}$

usw,usw...

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