Rechenregeln für Wahrscheinlichkeitsverteilungen

30.07.2013, 19:56

Kretos

Rechenregeln für Wahrscheinlichkeitsverteilungen

Hallo Leute

Ich bin gerade in der Klausurvorbereitung für Stochastik I.
Folgende Rechenregeln finden sich in der Formelsammlung:

Sei $\begin{eqnarray*} ( \Omega ,\theta, P ) \end{eqnarray*}$
ein Wahrscheinlichkeitsraum (Habe nur $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ genommen weil ich das eigentliche Zeichen nicht finde; $\begin{eqnarray*} \theta \end{eqnarray*}$ ist eine Sigma- Algbra), so gelten für die Wahrscheinlichkeitsverteilung P folgende Regeln:

$\begin{eqnarray*} (1) P(\emptyset)=0 (2) P(A^C)=1-P(A) \forall A\in \theta (3) P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) \forall A,B \in \theta (4) P(A+B) = P(A) + P(B) \forall A,B \in \theta mit A\cap B = \emptyset (5) P(B\ A) = P(B) - P(B\cap A) \forall A,B \in \theta \end{eqnarray*}$

So, nun habe ich ein paar Aufgaben, wo ich mit gegebenen Wahrscheinlichkeiten andere Ausrechnen soll.
Folgende sind gegeben:
$\begin{eqnarray*} P(B), P(A), P(C^C), P(A^C\cap C), P(A\cap B), P(A\cap B\cap C), P((A\cup B)\cap C) \end{eqnarray*}$

Mit diesen und den Rechenregeln zB auf die Lösung von $\begin{eqnarray*} P(A^C\cup C) \end{eqnarray*}$ zu kommen ist ja relativ easy.
Die letzten Aufgabenteile beziehen sich aber alle auf Schnitte. Und hier hänge ich nun. Wie kann ich diese umformen, sodass ich auf die gegebenen Wahrscheinlichkeiten komme und sie dan ausrechnen kann?
Folgende Aufgaben:
$\begin{eqnarray*} c) P(A\cap C) d) P(A\cap B^C \cap C) e) P(B\cap C) f) P(A\cup B \cup C) \end{eqnarray*}$

Eine Kommilitonin hat die c) folgendermaßen umgeformt:
$\begin{eqnarray*} c) P(A\cap C) = P(C) - P(C\cap A^C) \end{eqnarray*}$

Mit ist unklar woher diese Umformung kommen soll? Und wenn ich mir für A, B, C einfachmal 3 sich schneidende Kreise aufmale und die Mengen entsprechend markiere komme ich auch nicht gerade darauf, dass diese Umformung richtig ist, da ich in C noch Elemente habe, die nicht im Schnitt mit A liegen, aber durch die Subtraktion auch nicht abgezogen werden.

Also Hauptproblem ist wohl die Umformung eines Schnitts. Nach welcher Regel?
Und in der f: Wie teile ich mir 3 Mengen sinnvoll auf? Einfach klammern?

Grüße
Kretos

30.07.2013, 19:59

HAL 9000

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Zitat:

Original von Kretos
Wie kann ich diese umformen, sodass ich auf die gegebenen Wahrscheinlichkeiten komme und sie dan ausrechnen kann?

Das hängt ja wohl davon ab, welche Wahrscheinlichkeiten welcher Ereigniskombinationen gegeben sind!!! Und diese Information hast du uns bisher vorenthalten.

30.07.2013, 20:09

Kretos

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Zitat:

Original von HAL 9000
Das hängt ja wohl davon ab, welche Wahrscheinlichkeiten welcher Ereigniskombinationen gegeben sind!!! Und diese Information hast du uns bisher vorenthalten.

Hatte Probleme mit den Latex- Tags. Konnte irgendwie nur angezeigt werden, wenn ich es über den f(x)- Button eingefügt habe. Wenn ich selber einfach latex in [] geschrieben habe ging es nicht unglücklich

30.07.2013, 20:26

HAL 9000

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Zitat:

Original von Kretos
Und wenn ich mir für A, B, C einfachmal 3 sich schneidende Kreise aufmale und die Mengen entsprechend markiere komme ich auch nicht gerade darauf, dass diese Umformung richtig ist, da ich in C noch Elemente habe, die nicht im Schnitt mit A liegen, aber durch die Subtraktion auch nicht abgezogen werden.

Du "siehst" also Elemente in $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ , die weder in $\begin{eqnarray*} A\cap C \end{eqnarray*}$ noch in $\begin{eqnarray*} A^c\cap C \end{eqnarray*}$ liegen ??? unglücklich

Nein, aus

$\begin{eqnarray*} C = \Omega \cap C = (A\cup A^c) \cap C = (A\cap C) \cup (A^c \cap C) \end{eqnarray*}$

folgt für diese disjunkte Vereinigung rechts sofort $\begin{eqnarray*} P(C) = P(A\cap C) + P(A^c \cap C) \end{eqnarray*}$ , was der Umformung deiner Kommilitonin entspricht.

30.07.2013, 21:11

Kretos

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Zitat:

Original von HAL 9000
Du "siehst" also Elemente in $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ , die weder in $\begin{eqnarray*} A\cap C \end{eqnarray*}$ noch in $\begin{eqnarray*} A^c\cap C \end{eqnarray*}$ liegen ??? unglücklich

Stimmt, das war Blödsinn.
Habe dann im Endeffekt auch die anderen drei Aufgaben lösen können, vll kannst du mal drüber gucken ob ich das richtig umforme?

d)
$\begin{eqnarray*} P(A\cap B^C\cap C) = P((A\cap C) ohne B) = P(A\cap C) - P((A\cap C)\cap B) = 0 \end{eqnarray*}$

e)
$\begin{eqnarray*} Mit (A\cup B)\cap C = (A\cap C)\cup (B\cap C) folgt P(B\cap C) = P((A\cup B)\cap C) - P(A\cap C) = 0,1 \end{eqnarray*}$

f) Ist einfach P(A)+P(B)+P(C) = 19/20

P.S.: Wie mache ich ein Backslash wenn ich in den Latex- Tags bin um "ohne" zu symbolisieren?

30.07.2013, 21:18

HAL 9000

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d) stimmt - LaTeX-Hinweis: \setminus für Mengendifferenz $\begin{eqnarray*} \setminus \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von Kretos
$\begin{eqnarray*} Mit (A\cup B)\cap C = (A\cap C)\cup (B\cap C) folgt P(B\cap C) = P((A\cup B)\cap C) - P(A\cap C) = 0,1 \end{eqnarray*}$

Diese Umformung stimmt nur, sofern $\begin{eqnarray*} (A\cap C) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (B\cap C) \end{eqnarray*}$ disjunkt sind - kannst du das garantieren? verwirrt

Gleiche Anmerkung für f).

e) Es ist $\begin{eqnarray*} A\cup B = (A\setminus B) \cup B \end{eqnarray*}$ eine disjunkte Vereinigung und daher

$\begin{eqnarray*} P((A\cup B) \cap C) = P((A\setminus B) \cap C) + P(B\cap C) = P(A\cap C) + P(B\cap C) - P(A\cap B\cap C) \end{eqnarray*}$ .

f) Siebformel

$\begin{eqnarray*} P(A\cup B\cup C) = P(A)+P(B)+P(C) - P(A\cap B) - P(A\cap C) - P(B\cap C) + P(A\cap B\cap C) \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Wenn man es partout nicht selbst hinkriegt, kann man das auch stoisch systematisch angehen: Bei drei Mengen gibt es sieben disjunkte "Grundmengen" und deren Wahrscheinlichkeiten:

$\begin{eqnarray*} a = P(A\cap B^c\cap C^c) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b = P(A^c\cap B\cap C^c) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c = P(A^c\cap B^c\cap C) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} d = P(A^c\cap B\cap C) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e = P(A\cap B^c\cap C) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f = P(A\cap B\cap C^c) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g = P(A\cap B\cap C) \end{eqnarray*}$

Die Wahrscheinlichkeit der achten Grundmenge ergibt sich daraus zwingend als

$\begin{eqnarray*} h = P(A^c\cap B^c\cap C^c) = 1-a-b-c-d-e-f-g \end{eqnarray*}$ .

Alle gegebenen und gesuchten Werte kann man nun als Summe einer oder meherer der acht Variablen $\begin{eqnarray*} a,b,c,d,e,f,g,h \end{eqnarray*}$ aufstellen, und damit solche Probleme systematisch (wenn auch langwierig) als lineares Gleichungssystem betrachten.

30.07.2013, 21:55

Kretos

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Ok, jetzt hab ich es.

Danke!!

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