Konvergenzuntersuchung

30.07.2013, 20:04	küb	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenzuntersuchung Meine Frage: Da ich jetzt seit Stunden versuche, diese Aufgabe zu lösen, werd ich einfach mal euch fragen ^^' Also ich soll folgende Zahlenfolge auf Konvergenz untersuchen: $\begin{eqnarray} x_{n} = \sqrt{n^{4}+3n^{2} +2n } - \sqrt{n^{4}+n^{3} +1 } \end{eqnarray}$ Ich möchte den Grenzwert bestimmen ( da dann ja auch die Konvergenz gezeigt werden kann ). Ich hab jetzt erstmal versucht, das schriftlich zu lösen und hab mir von meinem Rechner zur Kontrolle sagen lassen, dass der Grenzwert -unendlich ist. Somit würde ich ja zeigen, dass die Folge bestimmt divergent gegen -unendlich ist. Aber schriftlich komme ich irgendwie nicht darauf: Ich habe erstmal erweitert: $\begin{eqnarray} = \frac{(\sqrt{n^{4}+3n^{2} +2n } - \sqrt{n^{4}+n^{3} +1 }) (\sqrt{n^{4}+3n^{2} +2n } + \sqrt{n^{4}+n^{3} +1 } )}{\sqrt{n^{4}+3n^{2} +2n } + \sqrt{n^{4}+n^{3} +1 } } \end{eqnarray}$ Dann habe ich die Klammern aufgelöst: $\begin{eqnarray} = \frac{n^{4} + 3* n^{2}+ 2n - n^{4} - n^{3} -1 }{\sqrt{n^{4} +3n^{2} +2n }+ \sqrt{n^{4} +n^{3}+1} } \end{eqnarray}$ Dann zusammengefasst: $\begin{eqnarray} \frac{ - n^{3} + 3 n^{2}+ 2n -1 }{\sqrt{n^{4} +3n^{2} +2n }+ \sqrt{n^{4} +n^{3}+1} } \end{eqnarray}$ Ab hier wirds seltsam.. Also ich hab einmal die n^3 rausgenommen: $\begin{eqnarray} \frac{ -1 + \frac{3}{n} + \frac{2}{n^{2} } - \frac{1}{n^{3} }}<br /> { \sqrt{ n + \frac{3}{n} + \frac{2}{n^{2} } } + \sqrt{n + 1 + \frac{1}{n^{3} } } } \end{eqnarray}$ Jetzt lasse ich n unendlich groß werden: Es bleibt: $\begin{eqnarray} \frac{-1}{\sqrt{\infty } } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = 0 \end{eqnarray}$ Wenn ich x^4 rausnehme, dann komme ich irgendwie auf 0/1 also = 0. Wenn ich n^2 rausnehme, komme ich auf (-unendlich +3) / (unenedlich +3) Was mache ich falsch? Ich habe mir auch mal den Graphen angeschaut und dachte, dass es vllt daran liegt, dass der Graph einen Sprung hat.. Aber wie kann ich das dann rechnerisch zeigen? Meine Ideen:
30.07.2013, 20:15	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Viele unterschiedliche Ergebnisse bisher, aber das richtige war leider nicht dabei. Was rechnest du da eigentlich im Nenner bei dem, was du "rausnehmen" nennst? Ich würde es mal mit $\begin{eqnarray} \sqrt{n^4+n^3+1} = \sqrt{n^4\left(1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^4}\right)} = n^2\cdot \sqrt{1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^4}} \end{eqnarray}$ u.ä. versuchen.
30.07.2013, 20:17	küb	Auf diesen Beitrag antworten »
Och neee, ich glaub ich hab immer vergessen, die Wurzel von dem, was ich ausklammere, zu ziehen.. Ich probiere es nochmal, dann meld ich mich
30.07.2013, 20:22	küb	Auf diesen Beitrag antworten »
Ach, super Bin jetzt auf -n/1 = -n = -unendlich gekommen
30.07.2013, 20:30	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja. Komisch, dass nicht schon dein Graph dich in diese Richtung gebracht hat.
30.07.2013, 20:42	küb	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Lösung hatte ich ja schon.. Aber ich bin irgendwie schriftlich nicht auf diese Lösung gekommen.. Aber hab ja jetzt meinen Fehler gefunden
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