Monotone Konvergenz

30.07.2013, 20:42

küb

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Monotone Konvergenz

Meine Frage:
Hab noch eine Frage zu einer Aufgabe ^^

Die Folge $\begin{eqnarray*} (x_{n}), n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ ist rekursiv definiert

durch $\begin{eqnarray*} x_{0}=0, x_{n+1}= \frac{x_{2} ^{n} -3}{2*x_{n}-4 } \end{eqnarray*}$

Ich soll jetzt erstmal eine Induktion durchführen.

Jetzt weiß ich nicht genau, wie ich anfangen soll..

In einer anderen Aufgabe hatten wir x_1 = 2 und mussten erstmal zeigen, dass x_n > 1.

Was muss ich denn zeigen?

x_n > 0 ? Geht ja schlecht, wenn mein x_0 = 0 ist..

Meine Ideen:

30.07.2013, 21:08

dastrian

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RE: Monotone Konvergenz
Hi!

Gemeint ist wohl
$\begin{eqnarray*} x_{n+1}= \frac{x_n^2 -3}{2*x_{n}-4 } \end{eqnarray*}$
oder?

Generell ist es ja schon recht komisch, wenn Induktion verlangt wird, ohne zu sagen, was gezeigt werden soll.

Ich würde mal ganz stark vermuten, dass man zeigen soll, dass die Folge gegen ein y konvergiert mit der Eigenschaft
$\begin{eqnarray*} y = {y^2-3 \over 2y-4} \end{eqnarray*}$
(das hat man häufig bei rekursiven Folgen).

Dafür werd ich erstmal induktiv zeigen, dass $\begin{eqnarray*} x_n \in [0,1] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{n+1}>x_n \forall n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$

30.07.2013, 21:55

küb

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RE: Monotone Konvergenz
Huch, ja n und 2 hab ich wohl vertauscht.

Ok, ich werds mal so versuchen, wie du es gesagt hast.

Wo ich mir jetzt nicht so sicher bin ist, die Vorgehensweise..

Wenn ich zeigen will, dass $\begin{eqnarray*} x_{n} \in \left[0,1\right] \end{eqnarray*}$

Was muss ich wo einsetzen?
Ich versuche immer, mich an bereits gelösten Aufgaben zu orientieren, aber die ist jetzt irgendwie anders ^^'

Wir hatte eine Vorgehensweise bekommen, aber ich weiß nicht, ob das jetzt für alle gilt oder ob das nur für die eine Aufgabe war..

"Zeige:
1) x_n > 1 mittels Induktion
2) (x_n) n in N
3) Satz über monotone Konvergenz
4) Grenzwert berechnen

30.07.2013, 22:01

dastrian

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RE: Monotone Konvergenz
Das kommt mir vor wie eine Mischung aus konkrete Aufgabe und allgemeiner Handlungsreihenfolge. Wobei Punkt 2) aber keine Aussage ist.

Naja, du sollst per Induktion zeigen:
$\begin{eqnarray*} x_n \in [0,1] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{n+1} > x_n \end{eqnarray*}$
D.h. mach ganz stur: Induktionsanfang n=0, dann nimm an, dass es für ein beliebiges n-1 schon gezeigt sei, und überprüfe es davon ausgehen für n.

30.07.2013, 22:19

küb

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RE: Monotone Konvergenz
2) ging noch weiter.. habs irgendwie vergessen, weiter zu schreiben ^^'
2) (x_n) ist monoton fallend

Also ich gehe jetzt einfach davon aus n=0
Aber ich hab gar kein n als Variable in meiner Gleichung.. verwirrt

verwirrt

Ich merke gerade, dass ich gar nicht verstanden habe, was wir da im Unterricht gemacht haben -.-
Kannst du mir vllt den Anfangsschritt zeigen..?

Wir hatten die Induktion immer in Schritte unterteilt:

Induktionsanfang, Induktionsvoraussetzung usw.

Was wäre hier denn der Induktionsanfang?
n=0

Aber dann komme ich zu meiner Anfangsfrage.. Wohin mit dem n=0?

30.07.2013, 22:26

dastrian

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RE: Monotone Konvergenz
Mein liebes Mädchen oder Mein lieber Junge,

dann mal schön Induktion üben. Lehrer

Lehrer

Augenzwinkern

Induktionsanfang: n=0
Du untersuchst $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ , das hast du ja gegeben. Jetzt musst du zwei Dinge überprüfen:
$\begin{eqnarray*} x_0 \in [0,1] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_1 > x_0 \end{eqnarray*}$ , dazu rechnest du dir x_1 konkret einfach aus nach der Vorschrift.

Präsentier das mal hier, danach kommen wir zur Induktionsvoraussetzng und zum Induktionsschritt.

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30.07.2013, 22:41

küb

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RE: Monotone Konvergenz
Ich hatte schon Angst, dass ich jetzt angemeckert werde ^^
Tut mir Leid, wenn ich jetzt so wenig weiß, aber ich bin noch ziemlich neu in dem Thema..

Naja.. x_0 = 0

Da seh ich ja schon, dass x_0 in [0,1]

x_1 > x_0

Ich schreibe jetzt einfach statt n eine 1?

$\begin{eqnarray*} \frac{x_{1}^{2}-3 }{2*x_{1}-4 } \geq 0 \end{eqnarray*}$

und löse nach x_1 auf?

30.07.2013, 22:47

dastrian

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RE: Monotone Konvergenz
smile

smile

Das Meckern musste kommen, wir haben das ja alle durchgemacht, und Induktion ist ein typisches Beispiel, wo Üben üben üben und dabei aus den Fehlern lernen viel besser ist als alles, was wir dir hier sagen können.

Und naja, du musst $\begin{eqnarray*} x_1>x_0 \end{eqnarray*}$ überprüfen und dazu erstmal konkret ausrechnen, was x_1 eigentlich ist.

Dazu benutzt du die Vorschrift

$\begin{eqnarray*} x_{n+1} = {x_n^2 -3 \over 2 x_n - 4} \end{eqnarray*}$

Hier setzt du für n=0 ein und erhälst

$\begin{eqnarray*} x_1 = ... \end{eqnarray*}$

30.07.2013, 22:53

küb

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RE: Monotone Konvergenz
$\begin{eqnarray*} x_{1} = \frac{x_{0}^{2}-3 }{2*x_{0}-4 } \end{eqnarray*}$

Edit: Achso, dann ist x_1 = 3/4 Big Laugh

Big Laugh

?

30.07.2013, 23:09

Grautvornix

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RE: Monotone Konvergenz
Kleiner Hinweis:

$\begin{eqnarray*} 0\leq(x-1)^2=x^2-2x+1=(x^2-3)-(2x-4),~\text{für alle }x\in\mathbb R. \end{eqnarray*}$

30.07.2013, 23:17

küb

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RE: Monotone Konvergenz
Hm.. Ja, danke.. Aber an welcher Stelle brauche ich das??

Erst beim Induktionsschluss?

30.07.2013, 23:28

dastrian

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RE: Monotone Konvergenz
Exactamente!

Und jetzt kannst du erfolgreich überürfen, ob x_1 > x_0 gilt oder nicht! Tanzen

Tanzen

Nun gut, das war also der Induktionsanfang n=0. Dort hat man für n den konkreten Wert 0 überprüft. Jetzt könnte man dasselbe immer so weiter machen, d.h. nach derselben Vorschrift könnte man x_2 ausrechnen:
$\begin{eqnarray*} x_2 = {x_1^2 -3 \over 2 x_1 -4} \end{eqnarray*}$
und danach könnte man entsprechend x_3 ausrechnen und dann x_4 und so weiter. Und dann könnte man überprüfen, ob
$\begin{eqnarray*} x_1 \in [0,1] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_2>x_1 \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} x_2 \in [0,1] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_3>x_2 \end{eqnarray*}$ ,
$\begin{eqnarray*} x_3 \in [0,1] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_4>x_3 \end{eqnarray*}$ ,
...
...
...
und man würde nie fertig werden, deswegen mach wir das anders:

Wir nehmen ein beliebiges $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ . Wir sagen, n ist beliebig aber fest, denn es darf jede natürliche Zahl repräsentieren, soll aber für alles weitere als fest angesehen werden. (d.h. nicht als Variable, sondern als fest vorgegeben).
Nun nimm an, wir hätten für n-1 schon die Behauptungen
$\begin{eqnarray*} x_{n-1} \in [0,1] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_n>x_{n-1} \end{eqnarray*}$
überprüft und als richtig erkannt. (Dies ist die sogenannte Induktionsvoraussetzung, auch Induktionsannahme genannt.)

Jetzt müssen wir im Induktionsschrit beweisen, dass
$\begin{eqnarray*} x_n \in [0,1] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{n+1}>x_n \end{eqnarray*}$ gilt.
Wie machen wir das? Wir verwenden dazu nur, dass wir $\begin{eqnarray*} x_{n-1} \end{eqnarray*}$ "kennen" und deshalb durch die Vorschrift
$\begin{eqnarray*} x_n = {x_{n-1}^2 -3 \over 2 x_{n-1} -4} \end{eqnarray*}$
auch $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ "kennen" und weiterhin wissen, dass $\begin{eqnarray*} x_{n-1} \in [0,1] \end{eqnarray*}$ .
Das reicht.

31.07.2013, 00:11

küb

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RE: Monotone Konvergenz

Zitat:

Nun nimm an, wir hätten für n-1 schon die Behauptungen
$\begin{eqnarray*} x_{n-1} \in [0,1] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_n>x_{n-1} \end{eqnarray*}$
überprüft und als richtig erkannt. (Dies ist die sogenannte Induktionsvoraussetzung, auch Induktionsannahme genannt.)

Ok, ich weiß also nicht, ob n-1 in [0,1] ist, aber nehme es einfach an?

n-1 < n ist klar

Zitat:

Wie machen wir das? Wir verwenden dazu nur, dass wir $\begin{eqnarray*} x_{n-1} \end{eqnarray*}$ "kennen" und deshalb durch die Vorschrift
$\begin{eqnarray*} x_n = {x_{n-1}^2 -3 \over 2 x_{n-1} -4} \end{eqnarray*}$ ...

x_n = x_n-1 in der Vorschrift, weil mir gegeben war, dass x_n+1= n in der Vorschrift, oder? Hoffe, man hats jetzt verstanden, was ich meine :P

Also muss ich das jetzt so hinschreiben?

$\begin{eqnarray*} \frac{x_{n+1}^{2}-3 }{2*x_{n+1}-4 } > \frac{x_{n-1}^{2}-3 }{2*x_{n-1}-4 } \end{eqnarray*}$

31.07.2013, 00:31

dastrian

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RE: Monotone Konvergenz

Zitat:

Original von küb
Ok, ich weiß also nicht, ob n-1 in [0,1] ist, aber nehme es einfach an?

n-1 < n ist klar

Mein lieber Junge / Mein liebes Mädchen - bring mir nicht die Indizes mit den Werten durcheinander!!!
Nochmal: für jede natürlich Zahl n ist $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ eine relle Zahl. Der Index n dient dazu, diese Zahlen auseinanderhalten und in eine Reihenfolge zu bringen.
Zu zeigen ist NICHT $\begin{eqnarray*} n-1 \in [0,1] \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} x_{n-1} \in [0,1] \end{eqnarray*}$ . DAS IST EIN RIESENUNTERSCHIED!
Ebenso sollst du nicht $\begin{eqnarray*} n-1 < n \end{eqnarray*}$ zeigen (das wäre ja trivial), sondern $\begin{eqnarray*} x_{n-1} < x_n \end{eqnarray*}$

Zitat:

x_n = x_n-1 in der Vorschrift, weil mir gegeben war, dass x_n+1= n in der Vorschrift, oder? Hoffe, man hats jetzt verstanden, was ich meine :P

Ich nicht...

Nochmal: wir tun so, als würden wir $\begin{eqnarray*} x_{n-1} \end{eqnarray*}$ kennen und wissen, dass es $\begin{eqnarray*} \in [0,1] \end{eqnarray*}$ in.
Weiter wissen wir
$\begin{eqnarray*} x_n = \frac{x_{n-1}^{2}-3}{2*x_{n-1}-4 } \end{eqnarray*}$

Nun wollen wir zeigen, dass
$\begin{eqnarray*} x_n \in [0,1] \end{eqnarray*}$

Jetzt setz doch mal ein! Du willst zeigen, dass
$\begin{eqnarray*} \frac{x_{n-1}^{2}-3}{2*x_{n-1}-4} \in [0,1] \end{eqnarray*}$
Wie zeigt man das?

Kleiner Tipp: Wenn dus nicht sofort siehst, dann versuch doch mal separat jedes der beiden folgenden Gleichheitszeichen zu zeigen:
$\begin{eqnarray*} 0 \leq \frac{x_{n-1}^{2}-3}{2*x_{n-1}-4} \leq 1 \end{eqnarray*}$

Noch ein Tip: Bei einem dieser Gleichheitszeichen könnte dir Grautvornix' Bemerkung helfen.

Noch mehr Tip: Dabei verwenden, dass $\begin{eqnarray*} x_{n-1} \in [0,1] \end{eqnarray*}$ liegt!

Das waren jetzt aber genug Tips! Ich geh ins Bett, gute Nacht!
(Sollte sich in der Nacht oder am frühen Morgen noch was tun, kann ruhig jemand übernehmen)

31.07.2013, 00:41

küb

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RE: Monotone Konvergenz

Zitat:

bring mir nicht die Indizes mit den Werten durcheinander!!!

Ok, das war nur aus reiner Eile.. Hammer

Hammer

Ich werde mir die Aufgabe nochmal morgen in aller Ruhe anschauen..
Hoffentlich kann ich auf deine Hilfe morgen zählen Big Laugh

Big Laugh

Danke bis hier hin smile

smile

Gute Nacht

31.07.2013, 14:36

küb

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RE: Monotone Konvergenz
Ok, also:

Ich habe die Ungleichung jetzt gelöst und habe damit zeigen können,

0 </= x_n </= 1

Jetzt muss ich zeigen, dass die Folge monoton fallend / monoton steigend ist.

Jetzt muss ich also zeigen:

x_n </= x_n+1

Für x_n+1 habe ich meine Vorschrift eingesetzt und komme nach Umformen auf:

$\begin{eqnarray*} (x_{n}-2 )^{2} \leq 1 \end{eqnarray*}$

Diese Ungleichung ist aber nicht wahr..

Soweit richtig?

31.07.2013, 15:35

dastrian

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RE: Monotone Konvergenz
Na, das ist doch schön. (Wenn du willst, kannst du deine Rechnungen zur Kontrolle auch nochmal hier schreiben.)

Beim monotonen Steigen muss tu irgendwoe einen Fehler gemacht haben...
Versuchs doch mal so:
Zu zeigen ist, dass $\begin{eqnarray*} x_{n+1} - x_n \geq 0 \end{eqnarray*}$
Nach der Rekursionsvorschrift also

$\begin{eqnarray*} \frac{x_n^2-3}{2x_n-4} - x_n \geq 0 \end{eqnarray*}$

Das einfach umformen und anwenden, dass $\begin{eqnarray*} x_n \in [0,1] \end{eqnarray*}$

31.07.2013, 15:41

küb

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RE: Monotone Konvergenz

Zitat:

Nach der Rekursionsvorschrift also

$\begin{eqnarray*} \frac{x_n^2-3}{2x_n-4} - x_n \geq 0 \end{eqnarray*}$

Achso super, das hatte ich auch probiert:

$\begin{eqnarray*} 0 \leq \frac{x_{n} ^{2}+2*x_{n}-3 }{2*x_{n}-4 } \end{eqnarray*}$

und hab zur Überprüfung mal meine beiden Grenzen eingesetzt:

-> 0 </= 3/4 für x_n=0
-> 0 </= 0 für x_n=1

Somit hätte ich dann gezeigt, dass x_n+1 monoton steigend im Intervall [0,1] ist, oder?

31.07.2013, 15:55

dastrian

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RE: Monotone Konvergenz
Leider nicht.

1. Ich bekomm beim Umformen was anderes raus. Stell doch mal jeden einzelnen Schritt dar, wir du umformst!

2. Aber auch wenn du richtig umformst, klappt die folgende Argumentation nicht:

Zitat:

und hab zur Überprüfung mal meine beiden Grenzen eingesetzt:

-> 0 </= 3/4 für x_n=0
-> 0 </= 0 für x_n=1

Somit hätte ich dann gezeigt, dass x_n+1 monoton steigend im Intervall [0,1] ist, oder?

Folgendes Gegenbeispiel: Es sei a eine beliebige reelle Zahl in $\begin{eqnarray*} [0,1] \end{eqnarray*}$
Und betrachte die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) = x^2 - \frac{2}{3}x \end{eqnarray*}$
Dann ist f(0) = 0 und f(1) = 2/3
Gilt dann automatisch $\begin{eqnarray*} f(a) \in [0,\frac{2}{3}] \end{eqnarray*}$
NEIN, denn f(1/3) = -1/9 < 0

Edit: Klar gesagt: in Unserem Fall musst du anders argumentieren, nämlich so, dass die Ungleichung für jedes $\begin{eqnarray*} x_n \in [0,1] \end{eqnarray*}$ gilt. Das machst du am besten, indem du den Zähler (nach richtigem Umformen) faktorisierst und an "minus mal minus gibt plus" denkst.

31.07.2013, 16:06

küb

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RE: Monotone Konvergenz
$\begin{eqnarray*} \frac{x_{n}^{2} -3 }{2*x_{n} -4} - x_{n} \geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{x_{n}^{2} -3 }{2*x_{n} -4} - \frac{x_{n}}{1} \geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{x_{n}^{2} -3 }{2*x_{n} -4} - \frac{2*x_{n} ^{2} - 4*x_{n} }{2*x_{n} -4} \geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{-x_{n} ^{2} - 4*x_{n} -3 }{2*x_{n}-4 } \geq 0 \end{eqnarray*}$

So, richtig?

31.07.2013, 16:44

Kathi_R

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Sorry,
ich hab schon wieder kurz nach dir die gleiche Aufgabe gepostet.
Guck dir mal an, was ich bisher gemacht habe (Konvergenz rekursiver Folge)
Mal gucken, ob das soweit stimmt

31.07.2013, 17:00

küb

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Editieren ging irgendwie nicht..

Letzte Zeile müsste heißen:

$\begin{eqnarray*} \frac{-x_{n} ^{2} + 4*x_{n} -3 }{2*x_{n}-4 } \geq 0 \end{eqnarray*}$

31.07.2013, 19:22

dastrian

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Dann ist richtig!

Du kannst den Zähler faktorisieren!

31.07.2013, 19:28

küb

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$\begin{eqnarray*} \frac{- ( x_{n} -1 ) * (x_{n} -3)}{2*x_{n}-4 } \geq 0 \end{eqnarray*}$

31.07.2013, 19:55

dastrian

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Genau, wunderbar! smile

smile

Zu dieser Ungleichung ist also die Behauptung
$\begin{eqnarray*} x_{n+1} > x_n \end{eqnarray*}$
äquivalent. Und ist die Ungleichung denn erfüllt?

Dazu schau dir an, ob deine Faktoren jeweils Positiv oder Negativ sind und ob insgesamt etwas Positives oder Negatives herauskommt.
Ob
$\begin{eqnarray*} (x_n-1) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} (x_n-3) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (2x_n - 4) \end{eqnarray*}$
jeweils positiv oder negativ sind, kannst du deshalb beurteilen, weil dir ja bekannt ist, dass
$\begin{eqnarray*} x_n \in [0,1] \end{eqnarray*}$

31.07.2013, 20:06

küb

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$\begin{eqnarray*} (x_n-1) \end{eqnarray*}$

wäre für 1 > x_n >/= 0 -> negativ
für x_n = 1 wäre es 0

$\begin{eqnarray*} (x_n-3) \end{eqnarray*}$

wäre für 1 >/= x_n >/= 0 -> negativ

und $\begin{eqnarray*} (2x_n - 4) \end{eqnarray*}$

wäre für 1 >/= x_n >/= 0 -> negativ

31.07.2013, 20:15

dastrian

Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr gut!

Anschaulich hast du auf deinem Bruch
$\begin{eqnarray*} \frac{- ( x_{n} -1 )(x_{n} -3)}{2*x_{n}-4 } \geq 0 \end{eqnarray*}$
also stehen
$\begin{eqnarray*} \frac{\text{minus mal minus mal minus}}{\text{minus}} \end{eqnarray*}$

Ist das positiv oder negativ?

31.07.2013, 20:19

küb

Auf diesen Beitrag antworten »

positiv

Big Laugh

wuhuu, dann stimmt die Aussage >/= 0

Und jetzt?

Jetzt weiß iich, dass x_n+1 > x_n ist.
Also ist die Folge monoton steigend.

31.07.2013, 20:27

dastrian

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Exakt!

Freude

Damit kannst du (wie Kathi_R in ihrem Beitrag schon richtig gesagt hat) das Monotoniekriterium anwenden.
Da lautet die Frage dann: Ist x_n beschränkt?

31.07.2013, 20:34

küb

Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben gezeigt, dass

0 </= x_n </= 1

Reicht das als Schranke?

Dann könnte ich daraus folgern, dass die Folge konvergent ist, da die Folge beschränkt und monoton ist.

31.07.2013, 20:39

dastrian

Auf diesen Beitrag antworten »

Das reicht!! (bzw. das sind obere und untere Schranken!)

Gut, nun wissen wir, dass die Reihe konvergiert, fragt sich nur noch gegen welchen Grenzwert.

Jetzt kommt ein Trick, den man eigentlich immer braucht, wenn man solche rekursiv definierten Folgen hat:

Wenn sie konvergieren, dann gegen einen Grenzwert, der "invariant" unter der Rekursionsvorschrift ist.

Sprich: sei $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ der Grenzwert der Folge.
Wenn wir nun y in die Rekursionsvorschrift einsetzen, dann kommt wieder y heraus, also

$\begin{eqnarray*} \frac{y^2-3}{2y-4} = y \end{eqnarray*}$

31.07.2013, 20:46

küb

Auf diesen Beitrag antworten »

Soll ich jetzt nach y umstellen..?

Und die Zahl, die ich kriege, ist mein Grenzwert..

31.07.2013, 20:55

dastrian

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau!

Bzw. du bekommst zwei möglich Zahlen und wirst dann eine davon ausschließen können, die als Grenzwert nicht in Frage kommt.

31.07.2013, 20:57

küb

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok komme auf 1 und 3.

3 kann ich ja ausschließen, da wir nur [0,1] betrachten smile

smile

31.07.2013, 21:02

dastrian

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Hervorragend!

Damit ist die Aufgabe gelöst! Tanzen

Tanzen

Schau aber in deinen Vorlesungsunterlagen nochmal nach, was ihr zu rekursiven Folgen und dieser "Regel" mit der Invarianz des Grenzwerts unter der Abbildungsvorschrift gemacht habt.

31.07.2013, 21:03

küb

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Ich hätte nochmal eine Frage zu einer Rechnung vorher.. Ist mir gerade aufgefallen:

$\begin{eqnarray*} 0 \leq \frac{x_{n-1}^{2}-3}{2*x_{n-1}-4} \leq 1 \end{eqnarray*}$

Ich hatte das getrennt gemacht:

$\begin{eqnarray*} \frac{x_{n-1}^{2}-3}{2*x_{n-1}-4} \leq 1 \end{eqnarray*}$

Habe ich mit dem Nenner multipliziert:

$\begin{eqnarray*} x_{n-1}^{2}-3 \leq 2*x_{n-1}-4 \end{eqnarray*}$

Dann habe ich $\begin{eqnarray*} 2*x_{n-1}-4 \end{eqnarray*}$ wieder subtrahiert:

$\begin{eqnarray*} x_{n-1}^{2}-3 - 2*x_{n-1} +4 \leq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{n-1}^{2} - 2*x_{n-1} +1 \leq 0 \end{eqnarray*}$

Und das dann:

$\begin{eqnarray*} (x_{n}-1) ^{2} \leq 0 \end{eqnarray*}$

Jetzt steht da das $\begin{eqnarray*} \leq 0 \end{eqnarray*}$ , was ja nicht richtig ist..

Es müsste ja $\begin{eqnarray*} \geq 0 \end{eqnarray*}$ sein.. Hab ich irgendwo was übersehen?

31.07.2013, 21:09

dastrian

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Ja, und zwar dort wo du mit dem Nenner multiplizierst.
Der Nenner ist negativ, also dreht sich das Ungleichheitszeichen herum.

Beispiel:
$\begin{eqnarray*} -1<2 \end{eqnarray*}$ ist wahr, jetzt multipliziere ich mit -2
$\begin{eqnarray*} 2<-4 \end{eqnarray*}$ ist falsch!

31.07.2013, 21:19

küb

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Achja, der Nenner ist ja negativ Big Laugh

Big Laugh

Okay, danke!!

Ich werd mal versuchen, das alles sauber aufzuschreiben..

Und echt großen Dank, dass du dir die Zeit genommen hast, jede meiner Fragen zu beantworten. smile

smile

31.07.2013, 21:30

dastrian

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Gerne, dafür sind wir ja ein Matheforum! smile

smile

Eins fällt mir noch auf, zu deiner letzten Frage, wo du $\begin{eqnarray*} \leq 1 \end{eqnarray*}$ gezeigt hast:

Du bist da von der Beheuptung ausgegangen und hast dann so umgeformt, dass eine wahr Aussage herauskommt.

Das ist kein Beweis! (wenn auch die Methode, mit der man einen solchen Beweis findet)

Wenn du den Beweis aufschreibst, dann geh von deiner wahren Aussage aus (das Quadrat ist größer gleich 0) und forme dann so um, dass die Behauptung folgt (sprich: gehe deinen Weg "rückwärts").
ODER schreibe am Schluss dazu, dass alle Umformungern Äquivalenzumformungen sind und deine Behauptung deshalb äquivalent zu einer wahren Aussage ist, also selbst ebenfalls wahr ist.

31.07.2013, 21:35

küb

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich mach das letztere Big Laugh

Big Laugh

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