Binome faktorisieren

30.07.2013, 20:54

Egaus

Binome faktorisieren

Hi,
kann man alle Binome faktorisieren?
Beispiel: a^17+b^17, a^8+b^8, a^15+b^15, also allgemein a^n+b^n. Mit n=2 und 3 gibt es die bekannten Formeln, aber weiter?Ich möchte das anwenden, um zu beweisen, dass ein Binom keine Primzahl als Ergebnis haben kann. Oder doch?..
Kann mir jemand helfen?
Gruß, Egaus

30.07.2013, 20:59

HAL 9000

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Für alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ , die einen ungeraden Teiler $\begin{eqnarray*} t>1 \end{eqnarray*}$ besitzen, kannst du von $\begin{eqnarray*} a^n+b^n \end{eqnarray*}$ den Faktor $\begin{eqnarray*} a^m+b^m \end{eqnarray*}$ abspalten, wobei $\begin{eqnarray*} m=\frac{n}{t} \end{eqnarray*}$ ist.

Damit kommen für positive $\begin{eqnarray*} a, b \end{eqnarray*}$ allenfalls noch Zweierpotenzen $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ in Frage, wenn du mögliche Primzahlen unter $\begin{eqnarray*} a^n+b^n \end{eqnarray*}$ suchst (den Trivialfall a=b=1 lassen wir selbstredend außen vor).

Übrigens sind $\begin{eqnarray*} 2^2+1^2,2^4+1^4,2^8+1^8,2^{16}+1^{16} \end{eqnarray*}$ alles (Fermatsche) Primzahlen. Augenzwinkern

31.07.2013, 07:37

Egaus

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a und b sind natürliche Zahlen >2. Sie sind Komponenten eines elementaren pythagoreischen Tripels. Beispiel 8^17 und 15^17. Auch 15^8+17^8 kommt in Frage. Weder 8 noch 17 haben ungerade Teiler. Die Summe ergibt hier keine Primzahl. Kann man beweisen, dass dies immer der Fall ist?
Augenzwinkern

31.07.2013, 08:24

HAL 9000

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Zitat:

Original von Egaus
a und b sind natürliche Zahlen >2. Sie sind Komponenten eines elementaren pythagoreischen Tripels.

Gibt es einen Grund für diese letztere, ziemlich drastische Einschränkung?

Zitat:

Original von Egaus
Weder 8 noch 17 haben ungerade Teiler.

Die Zahl 17 hat sehr wohl den ungeraden Teiler 17>1. Und tatsächlich ist auch
$\begin{eqnarray*} 8^{17}+15^{17} \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} 8+15=23 \end{eqnarray*}$ teilbar. Besser die Beiträge lesen und durchdenken! Forum Kloppe

8 hat tatsächlich keinen ungeraden Teiler >1, und zählt ja unter die Kategorie Zweierpotenz. Für die ist es (siehe Beispiele mit den Fermatschen Primzahlen) zumindest denkbar, dass $\begin{eqnarray*} a^n+b^n \end{eqnarray*}$ prim ist. Im Fall $\begin{eqnarray*} n=8 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} 8^8+15^8=2579667841 \end{eqnarray*}$ übrigens auch eine Primzahl. Augenzwinkern

31.07.2013, 11:17

Egaus

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im Falle n=8(gerade) gibt es die Einschränkung a=>ungerade und b=>ungerade. Die Summe zweier ungeraden Zahlen ist immer gerade, somit ist der Beweis erbracht.
Danke für die Hilfe, nicht für den Rüffel Augenzwinkern

Egaus

31.07.2013, 11:41

HAL 9000

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Zitat:

Original von Egaus
im Falle n=8(gerade) gibt es die Einschränkung a=>ungerade und b=>ungerade. Die Summe zweier ungeraden Zahlen ist immer gerade, somit ist der Beweis erbracht.

Mit solchen Zusatzforderungen wird das ganze natürlich ziemlich uninteressant. Und es steht im Widerspruch zu

Zitat:

Original von Egaus
a und b sind natürliche Zahlen >2. Sie sind Komponenten eines elementaren pythagoreischen Tripels.

denn die können nicht beide zugleich ungerade sein (zumindest wenn mit a,b nur die Katheten und nicht die Hypotenuse gemeint sind). Klingt also ziemlich inkonsequent. unglücklich

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