Konvergenz

30.07.2013, 23:59

yahuu14

Konvergenz

Hi mit n gegen unendlich will ich folgende Folge untersuchen

$\begin{eqnarray*} \frac{n^7+(-1)^nln(3n)}{2*5^n+7n^{16}} \end{eqnarray*}$

Meine Idee: Sie konvergiert gegen 0, da die exponentialfunktion 5^n schneller wächst als alle Werte im Zähler und allgemein schnellerwächst als jede Potenzfunktion. (-1)^n bewegt sich ja sowieso nur zwischen -1 und 1. Letztendlich wächst somit der Nennerpolynom schneller und somit ist a ->0, n -> oo

Meine Frage:

Ist die Aussage und das Ergebnis korrekt? Ich vermute mal schon, mich würde aber interessieren wie ich das ganze mathematisch zeigen kann als 1. Semester Elektrotechnikstudent.

31.07.2013, 07:15

Kasen75

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Hallo,

du kannst den Bruch erstmal aufteilen:

$\begin{eqnarray*} \frac{n^7}{2*5^n+7n^{16}}+\frac{(-1)^n\cdot ln(3n)}{2*5^n+7n^{16}} \end{eqnarray*}$

Dann gilt für zwei konvergente Folgen:

Folge $\begin{eqnarray*} <a_n> \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen a
Folge $\begin{eqnarray*} <b_n> \end{eqnarray*}$ konvergiert gegen b

Dann konvergiert $\begin{eqnarray*} <a_n + b_n> \end{eqnarray*}$ gegen a+b

Den ersten Bruch kannst du Zähler und Nenner mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n^7} \end{eqnarray*}$ erweitern.

Beim zweiten Bruch kannst du erstmal untersuchen, ob $\begin{eqnarray*} \frac{ln(3n)}{2*5^n+7n^{16}} \end{eqnarray*}$ konvergiert und was ggf. der Grenzwert ist.

Hierzu könntest du L´Hospital verwenden.

Grüße.

31.07.2013, 10:04

yahuu14

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Danke! Hab es verstanden, darf leider aber kein lopital anwenden, da wir ihn aus Zeitmangel nicht eingeführt haben.

Grenzwert ist trotzdem null oder?

31.07.2013, 11:40

Kasen75

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Zitat:

Original von yahuu14
Danke! Hab es verstanden, darf leider aber kein l'Hospital anwenden, da wir ihn aus Zeitmangel nicht eingeführt haben.

Was darfst du denn anwenden ?

Zitat:

Original von yahuu14
Grenzwert ist trotzdem null oder?

Ja.

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