Komplement - Beweis

31.07.2013, 07:28

Kimyaci

Komplement - Beweis

Zu zeigen gilt:

$\begin{eqnarray*} (X \backslash (A \cup B)) = (X \backslash A) \cap (X \backslash B) \end{eqnarray*}$

Der Beweis ging folgendermaßen:

Sei $\begin{eqnarray*} X \in X \backslash (A \cup B) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow X \in X \wedge \neg (X \in A \cup B) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \ \ X \in X \wedge (X \notin A \wedge X \notin B) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \ \ X \in X \wedge X \notin A \wedge X \in X \wedge x \notin B \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \ \ X \in (X \backslash A) \cap (X \backslash B) \end{eqnarray*}$

Den letzten Schritt versteh ich nicht so ganz; warum ist das nun die Schnittmenge?

31.07.2013, 08:23

klarsoweit

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RE: Komplement - Beweis
Wenn wir das mal so schreiben:

$\begin{eqnarray*} x \in X \backslash (A \cup B) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow x \in X \wedge \neg (x \in A \cup B) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \ x \in X \wedge (x \notin A \wedge x \notin B) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \ x \in X \wedge x \notin A \wedge x \in X \wedge x \notin B \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \ x \in (X \backslash A) \cap (X \backslash B) \end{eqnarray*}$

dann wird es zum einen formal richtig, zum anderen auch lesbarer.

Vor die letzte Zeile solltest du dann noch diese beiden einfügen:

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \ (x \in X \wedge x \notin A) \wedge (x \in X \wedge x \notin B) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \ x \in (X \backslash A) \wedge x \in (X \backslash B) \end{eqnarray*}$

Dann wird es hoffentlich klarer.

31.07.2013, 08:30

Bartolomeo

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Vielleicht hilft hier folgende Klammersetung:
$\begin{eqnarray*} (x\in X \land x\notin A) \land (x\in X \land x \notin B) \end{eqnarray*}$
Und es sollte wohl immer $\begin{eqnarray*} x\in ... \end{eqnarray*}$ heißen, denn X ist schon für eine Menge verbraucht (und Elemente werden generell klein geschrieben)

31.07.2013, 19:01

Kimyaci

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Ja wird klarer. Wäre es denn für:

$\begin{eqnarray*} X \backslash (A \cap B) = (X \backslash A) \cup (X \backslash B) \end{eqnarray*}$

Der Beweis:

Sei $\begin{eqnarray*} x \in X \backslash (A \cap B) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow x \in X \wedge \neg (x \in A \cap B) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow x \in X \wedge (x \in A \vee B) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow x \in X \wedge x \notin A \vee x \in X \wedge x \notin B \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow (x \in X \wedge x \notin A) \vee (x \in X \wedge x \notin B) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow x \in (X \backslash A) \vee x \in (X \backslash B) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow (X \backslash A) \cup (X \backslash B) \end{eqnarray*}$

Wenn ich eine Vereinigung habe wie kann ich dann ein "Oder-Zeichen" benutzen? Weil wenn ich "oder" nutze, dann ist das doch nicht mehr die Vereinigung der gesamten Mengen oder?

01.08.2013, 08:23

klarsoweit

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Zitat:

Original von Kimyaci
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow x \in X \wedge \neg (x \in A \cap B) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow x \in X \wedge (x \in A \vee B) \end{eqnarray*}$

Der Übergang zur nächsten Zeile ist falsch. Vielleicht macht es auch Sinn, noch eine Zeile dazwischen zu schieben:

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow x \in X \wedge \neg (x \in A \cap B) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow x \in X \wedge \neg (x \in A \wedge x \in B) \end{eqnarray*}$

Bedenke dann, daß in der Aussagenlogik $\begin{eqnarray*} \neg (hugo \wedge otto) \Leftrightarrow \neg hugo \vee \neg otto \end{eqnarray*}$ gilt.

Zitat:

Original von Kimyaci
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow (X \backslash A) \cup (X \backslash B) \end{eqnarray*}$

Formal richtig ist: $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow x \in (X \backslash A) \cup (X \backslash B) \end{eqnarray*}$

01.08.2013, 10:23

Kimyaci

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Danke klarsoweit, alles klar soweit! Freude

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