cosh(arsinh (x))

31.07.2013, 11:38

AlexL

cosh(arsinh (x))

Hallo,

ich komme bei einer Vereinfachung nicht weiter.

$\begin{eqnarray*} cosh(arsinh(x))=\sqrt { { x }^{ 2 }+1 } \end{eqnarray*}$

Wie kommt man dadrauf? Habe als Tipp den "hyperbolischen" Pythagoras erhalten, leider brachte mich das nicht auf das Ergebnis. Ich habe mir angeschaut, wie der cosh und der arsinh definiert sind, aber auch das half mir nicht. Würde mich über einen Tipp freuen!

31.07.2013, 11:43

Che Netzer

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RE: cosh(arsinh (x))

Zitat:

Original von AlexL
Habe als Tipp den "hyperbolischen" Pythagoras erhalten, leider brachte mich das nicht auf das Ergebnis.

Dann schreib den mal um, wobei du die Nichtnegativität des Cosinus Hyperbolicus benutzt:
$\begin{eqnarray*} \cosh y=\sqrt{\dotso} \end{eqnarray*}$

31.07.2013, 11:57

AlexL

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RE: cosh(arsinh (x))
$\begin{eqnarray*} cosh(arsinh(x))=\sqrt { 1-{ sinh }^{ 2 }(arsinh(x)) } \end{eqnarray*}$

Meintest du das so?

Ich weiß nur nicht, wie jetzt das sinh^2 auf arsinh anwenden soll.

31.07.2013, 12:38

Che Netzer

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RE: cosh(arsinh (x))

Zitat:

Original von AlexL
$\begin{eqnarray*} cosh(arsinh(x))=\sqrt { 1-{ sinh }^{ 2 }(arsinh(x)) } \end{eqnarray*}$

Meintest du das so?

Nein, dir ist da ein Fehler unterlaufen.

Zitat:

Ich weiß nur nicht, wie jetzt das sinh^2 auf arsinh anwenden soll.

Was versteht man denn unter $\begin{eqnarray*} \sinh^2 \end{eqnarray*}$ ? Und in welchem Zusammenhang stehen $\begin{eqnarray*} \sinh \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \operatorname{arsinh} \end{eqnarray*}$ ?

31.07.2013, 14:32

AlexL

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RE: cosh(arsinh (x))
Ja, ich vermute ich habe den Fehler gefunden. Richtig wäre:
$\begin{eqnarray*} cosh(arsinh(x))=\sqrt { 1+{ sinh }^{ 2 }(arsinh(x)) } \end{eqnarray*}$ oder?

Glaube ich habe es jetzt verstanden. Magst du mal drüber schauen?

$\begin{eqnarray*} sinh^2(x) \end{eqnarray*}$ : Die Funktion wird an der Stelle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auswertet und das Ergebnis dann quadriert. Oder was meinst du im speziellen mit dem Ausdruck?

Es gelten doch diese beiden Zusammenhänge, oder?

$\begin{eqnarray*} arsinh(sinh(x))=x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} sinh(arsinh(x))=x \end{eqnarray*}$

Der zweite Ausdruck liefert:
$\begin{eqnarray*} sinh(arsinh(x))=x \end{eqnarray*}$ und dieses zum Quadrat ist dann ja $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ , also steht insgesamt: $\begin{eqnarray*} cosh(arsinh(x))=\sqrt { 1+{ x }^{ 2 } } \end{eqnarray*}$

Soweit richtig?

31.07.2013, 14:43

Che Netzer

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RE: cosh(arsinh (x))
Ja, alles in Ordnung.

31.07.2013, 14:48

AlexL

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RE: cosh(arsinh (x))
Vielen Dank!

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