Integral über Produkt von Indikatorfunktionen

31.07.2013, 13:53	Binumi	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral über Produkt von Indikatorfunktionen Meine Frage: Hallo! Ich sitze gerade an einer Berechnung und weiß gar nicht, wie ich vorgehen soll. Berechnet werden soll folgende Gleichung: $\begin{eqnarray} <br /> \psi(t)=\int_{\mathbb{R}} g(t+y)\overline{g(y)}dy<br /> \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} <br /> g=\frac{1}{\sqrt{a}}\cdot 1_{[-a/2,a/2]}<br /> \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} <br /> a>0<br /> \end{eqnarray}$ gilt. Leider weiß ich jetzt nichts mit dem Integral $\begin{eqnarray} <br /> \psi(t)=\frac{1}{a} \int_{\mathbb{R}} 1_{[-a/2,a/2]}(t+y) 1_{[-a/2,a/2]} (y) dy<br /> \end{eqnarray}$ anzufangen. Meine Ideen: Ich weiß, dass das Integral über die obige Indikatorfunktion das Lebesgue-Maß von dem Intervall ist, aber wie multipliziere ich die beiden Indikatorfunktionen?
31.07.2013, 14:08	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist $\begin{eqnarray} 1_A(x)\cdot 1_B(x) = 1_{A\cap B}(x) \end{eqnarray}$ , denn das Produkt ist ja genau dann gleich Eins, wenn beide Faktoren gleich Eins sind, d.h., $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ in beiden Mengen $\begin{eqnarray} A,B \end{eqnarray}$ zugleich liegt. Außerdem kann man so eine Verschiebung durch $\begin{eqnarray} 1_{[a,b]}(x+t) = 1_{[a-t,b-t]}(x) \end{eqnarray}$ bewältigen. Kurzum, in deinem Fall ist $\begin{eqnarray} \psi(t) = \frac{1}{a} \int\limits_{\mathbb{R}} 1_{[-a/2-t,a/2-t]}(y) 1_{[-a/2,a/2]}(y) ~ \dd y = \frac{1}{a} \lambda\left( \left[-\frac{a}{2}-t,\frac{a}{2}-t\right] \cap \left[-\frac{a}{2},\frac{a}{2}\right] \right) \end{eqnarray}$ mit Lebesguemaß $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ . Jetzt musst du für diverse Fälle bzgl. $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ "durchspielen", wie dieser Intervalldurchschnitt $\begin{eqnarray} \left[-\frac{a}{2}-t,\frac{a}{2}-t\right] \cap \left[-\frac{a}{2},\frac{a}{2}\right] \end{eqnarray}$ aussieht, insbesondere längenmäßig.
31.07.2013, 14:46	Binumi	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank! Auf die Verschiebung hätte ich auch selbst drauf kommen müssen. Für jeden, den es interessiert, es ergibt sich für $\begin{eqnarray} <br /> \psi(t)=1-\frac{\|t\|}{a},<br /> \end{eqnarray}$ falls $\begin{eqnarray} \|t\|\leq a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} <br /> \psi(t)=0,<br /> \end{eqnarray}$ falls $\begin{eqnarray} \|t\|>a \end{eqnarray}$ ist.
31.07.2013, 14:53	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau.

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