Gewöhnliche Differentialgleichungen

31.07.2013, 16:35

Leonard DGL

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Meine Frage:
Servus zusammen. Es handelt sich um Differentialgleichungen. Diese soll ich lösen.

$\begin{eqnarray*} a) y' (1+x^2)=\sqrt{e^{-y}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b) x y' =y(ln(y)-ln(x)) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c) y'+y \sin(x)=\sin^3(x)) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Bei a) kann man die Trennung der Veränderlichen anwenden. Dort komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} y'=\sqrt{e^{-y}} \frac{1}{(1+x^2)} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \frac{1}{\sqrt{e^{-y}}} dy=\frac{1}{(1+x^2)}dx \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} e^{\frac 12 y}dy==\frac{1}{(1+x^2)}dx \end{eqnarray*}$

integriere und erhalte
$\begin{eqnarray*} 2e^{\frac 12 y}= arctan x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow y=2\ln(\frac{arctan x}{2}) \end{eqnarray*}$

Kann das sein? Bei b) habe ich nicht viel Ideen? Substitution? Aber was?

c) habe ich angefangen mit der Variation der Konstanten zu lösen und komme dort auf:

$\begin{eqnarray*} c) y'+y \sin(x)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac 1y \frac{dy}{dx}=-\sin(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac 1y dy=-\sin(x) dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} ln(y)=\cos(x)+c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=e^{\cos(x)+c}=e^{\cos(x)}\cdot c \end{eqnarray*}$

Jetzt führe ich den "Trick" ein $\begin{eqnarray*} c \rightarrow c(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=e^{\cos(x)}\cdot c(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y'=e^{\cos(x)}\cdot c'(x)+c(x)\cdot e^{\cos(x)} \cdot (-\sin(x)) \end{eqnarray*}$

Setze das jetzt in meine Ausgangsleichung ein:

$\begin{eqnarray*} e^{\cos(x)}\cdot c'(x)+c(x)\cdot e^{\cos(x)} \cdot (-\sin(x))+e^{\cos(x)}\cdot c(x)\cdot \sin(x)=\sin^3 (x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{\cos(x)}\cdot c'(x)+=\sin^3 (x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} c'(x)=\sin^3 (x)-e^{\cos(x)} \end{eqnarray*}$

Das müsste ich jetzt "nur" noch integrieren und dann in die passende Gleichung einsetzen?

Ich danke für die Aufmerksamkeit

LG Leonard

31.07.2013, 18:15

grosserloewe

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Gewöhnliche Differentialgleichungen
Wink

Zu a )

Ich habe auch das Ergebnis erhalten, allerdings in der Klammer mit +C)
Ich habe dann die Probe gemacht und das Ergebnis stimmt.

31.07.2013, 19:55

Leonard DGL

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Gewöhnliche Differentialgleichungen

Zitat:

Original von grosserloewe
Wink

Zu a )

Ich habe auch das Ergebnis erhalten, allerdings in der Klammer mit +C)

Ja stimmt das ist mir abhanden gekommen. Wie sieht es denn mit der b) und der c) aus?

31.07.2013, 20:18

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

b) Substitution $\begin{eqnarray*} z = \frac{y}{x} \end{eqnarray*}$ , d.h. mit $\begin{eqnarray*} y=zx \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} y'=z'x+z \end{eqnarray*}$ scheint zum Erfolg zu führen - zumindest ist dann Trennung der Variablen möglich.

31.07.2013, 21:06

grosserloewe

Auf diesen Beitrag antworten »

zu c)

stimmt fast alles. Von der vorletzten zur letzten Zeile ist Dir ein Fehler unterlaufen.
Es muß stehen:

$\begin{eqnarray*} C' =\frac{sin^3x}{e^{cos(x)} } \end{eqnarray*}$

Das + in der vorletzten Zeile ist überflüssig.

ja dann nur noch Integrieren und in y( partikulär) einsetzen.

und dann ist y= $\begin{eqnarray*} y_{h} +y_{p} \end{eqnarray*}$

die Lösung der Aufgabe.

01.08.2013, 01:52

Leonard DGL

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von HAL 9000
b) Substitution $\begin{eqnarray*} z = \frac{y}{x} \end{eqnarray*}$

Wie sehe ich sowas? Hat da jemand ein Tipp? Wie kann man durch probieren oder so darauf kommen?

01.08.2013, 02:21

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Leonard DGL
Wie sehe ich sowas? Hat da jemand ein Tipp? Wie kann man durch probieren oder so darauf kommen?

Wende ein Logarithmusgesetz auf den Ausdruck $\begin{eqnarray*} ln(y)-ln(x) \end{eqnarray*}$ an.

Das wäre mein Tipp. smile

01.08.2013, 09:46

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Kasen75
Wende ein Logarithmusgesetz auf den Ausdruck $\begin{eqnarray*} ln(y)-ln(x) \end{eqnarray*}$ an.

Eben dadurch kommt "man" auf diese Substitution.

Neue Frage »

Antworten »

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Verwandte Themen