Goniometrische Gleichungen

31.07.2013, 17:24

Elvandy100

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Goniometrische Gleichungen

Hi,

brauche Hilfe bei folgender Goniometrische Gleichung soll alle lösung im Intervall von $\begin{eqnarray*} 0, 2\pi \end{eqnarray*}$ angeben.

$\begin{eqnarray*} 2sin(x)cos(x) + cos(2x) = 0 \end{eqnarray*}$

habe $\begin{eqnarray*} cos(2x) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 1-2sin²(x) \end{eqnarray*}$ ersetzt.

$\begin{eqnarray*} 2sin(x)cos(x) + 1-2sin²(x) = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2sin(x)cos(x) - 2sin²(x) = -1 | Ausklammern \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} sin(x)(2cos(x) - 2sin(x)) = -1 \end{eqnarray*}$

1. Fall

$\begin{eqnarray*} sin(x) = -1 ----> \frac{3\pi}{2} \end{eqnarray*}$

Wäre das schon mal richtig ?

Weil ich dann für den rest kein vernünftige lösung rausbekomme.

31.07.2013, 17:31

alterHund

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nein, da müßte ja 2cosx - 2sinx = 1 gelten

warum verwendest Du nicht zu begin 2sinx cosx = sin(2x) ?

31.07.2013, 17:42

Elvandy100

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mh gute frage ich dachte das klappt dann nicht wegen dem (2x) aber ich habe das einfach mal gemacht.

$\begin{eqnarray*} sin(2x) + 1 - 2sin²(x) = 0 \end{eqnarray*}$

Sieht stark nach einer quadratischen Gleichung aus geht das denn auch mit sin(2x) ??

$\begin{eqnarray*} sin²(x) - \frac{1}{2} sin(2x) - \frac{1}{2} = 0 \end{eqnarray*}$

Habe dann für $\begin{eqnarray*} x1 = 1 \end{eqnarray*}$ und für $\begin{eqnarray*} x2 = -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ raus.

Aber ich muss ja das sin(2x) berücksichtigen oder ?

31.07.2013, 17:44

HAL 9000

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Zitat:

Original von Elvandy100
$\begin{eqnarray*} sin(x)(2cos(x) - 2sin(x)) {\color{red}= -1} \end{eqnarray*}$

1. Fall

$\begin{eqnarray*} sin(x) = -1 \end{eqnarray*}$

Eine Fallunterscheidung zu diesem Zeitpunkt ist höchst verwunderlich:

Was hattest du denn für die anderen Fälle vor? verwirrt

verwirrt

Ja, wenn dort $\begin{eqnarray*} {\color{red}= 0} \end{eqnarray*}$ gestanden hätte, dann wäre das etwas anderes: Dann hätte man mit "ein Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist" eine vernünftige Fallunterscheidung aufbauen können - vielleicht hast du ja mal was ähnliches gesehen und gemeint, das könntest du auch auf $\begin{eqnarray*} {\color{red}= -1} \end{eqnarray*}$ anwenden? Weit gefehlt. unglücklich

unglücklich

Zur wirklichen Lösung muss ich nichts mehr sagen, da hast du ja schon den bestmöglichen Tipp von alterHund. Leider aber hast du das cos(2x) nicht stehen lassen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

31.07.2013, 17:51

alterHund

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@Elvandy100
autsch,
beginne doch mit sin(2x) + cos(2x) = 0
und
forme nicht den cos(2x) um
es
gibt doch noch andere Winkelfunktionen

31.07.2013, 18:06

Elvandy100

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mh mist aber für das (2x) habe ich doch nicht so viele Möglichkeiten.

$\begin{eqnarray*} sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} cos(2x) = cos²(x) - sin²(x) = 1 - 2 sin²(x) = 2 cos²(x) -1 \end{eqnarray*}$

denn ich kann ja nicht $\begin{eqnarray*} sin(2x) auf \sqrt{1 - cos²(x)} \end{eqnarray*}$ übertragen oder doch ?

mehr Möglichkeiten stehen auch nicht in meinem skript.

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31.07.2013, 18:10

HAL 9000

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Diesem "unbändigen Drang", das $\begin{eqnarray*} 2x \end{eqnarray*}$ unbedingt sofort zu eliminieren, musst du widerstehen. Stell dir vor, du löst die Gleichung

$\begin{eqnarray*} \sin(t) + \cos(t) = 0 \end{eqnarray*}$

und mit deren $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ -Lösung kannst du dann über $\begin{eqnarray*} t=2x \end{eqnarray*}$ auch die letztendlich gesuchte $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Lösung bestimmen.

31.07.2013, 18:46

Elvandy100

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jaaa ich glaube das war mein problem das ich dachte das ich das 2x direkt wegbekommen muss.

Also wenn ich das 2x weg lasse bekomme ich :

tan(x) = -1

das heißt ja dann :

tan(2x) = -1 ?

2x = arctan(-1)

eine lösung wäre schon mal $\begin{eqnarray*} -\frac{{\pi}}{8} \end{eqnarray*}$ ??

31.07.2013, 18:48

alterHund

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ja

smile

31.07.2013, 19:02

Elvandy100

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Boar das war eine doofe Aufgabe Augenzwinkern

Augenzwinkern

aber vielen dank für eure Hilfe !

31.07.2013, 19:04

alterHund

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dafür sind wir da. Es gibt noch eine 2te Lösung.

31.07.2013, 19:15

HAL 9000

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Zitat:

Original von Elvandy100
soll alle lösung im Intervall von $\begin{eqnarray*} 0, 2\pi \end{eqnarray*}$ angeben.

Na eigentlich sind es vier Lösungen in diesem Intervall, und $\begin{eqnarray*} -\frac{\pi}{8} \end{eqnarray*}$ ist nicht dabei.

Am besten setzt man hier

Zitat:

Original von Elvandy100
2x = arctan(-1)

bereits mit der Tangens-Periode $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ an, d.h.

$\begin{eqnarray*} 2x = \arctan(-1) + k\pi \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ .

Nun muss man noch schauen, für welche ganzen Zahlen $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ das zu $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ -Lösungen im letztendlich gesuchten Intervall $\begin{eqnarray*} [0,2\pi] \end{eqnarray*}$ führt.

31.07.2013, 19:17

Elvandy100

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$\begin{eqnarray*} \frac{3\pi}{8} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{7\pi}{8} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{11\pi}{8} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{15\pi}{8} \end{eqnarray*}$

Trau mich gar nicht die nächste gleichung zu posten ob ich die diesmal richtig gelöst habe =)

$\begin{eqnarray*} cos²(x) - sin²(x) - cos(2x)sin(2x) = 0 \end{eqnarray*}$

also da wäre eine lösung schon mal $\begin{eqnarray*} x = \frac{\pi}{4} \end{eqnarray*}$ kann das sein ?

31.07.2013, 19:24

HAL 9000

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Na vielleicht beendest du zunächst die erste Aufgabe ordentlich...

Zur zweiten Aufgabe: Benutze $\begin{eqnarray*} \cos^2(x)-\sin^2(x)=\cos(2x) \end{eqnarray*}$ , und dann kannst du die oben noch im Konjunktiv erwähnte Methode

Zitat:

Original von HAL 9000
Ja, wenn dort $\begin{eqnarray*} {\color{red}= 0} \end{eqnarray*}$ gestanden hätte, dann wäre das etwas anderes: Dann hätte man mit "ein Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist" eine vernünftige Fallunterscheidung aufbauen können

wirklich anwenden.

EDIT:

Zitat:

Original von Elvandy100
und noch 247.5°, 337.5° aber die habe ich nicht mehr im skript im bogenmaß stehen !

Bedeutet das, dass du Winkel, die nicht in deinem Skript stehen, nicht ins Bogenmaß umwandeln kannst? unglücklich

unglücklich

$\begin{eqnarray*} 180^{\circ} = \pi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1^{\circ} = \frac{\pi}{180} \end{eqnarray*}$

31.07.2013, 19:35

Elvandy100

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Verstehe gerade nicht was mit dem sin(2x) passiert ist ?

31.07.2013, 19:38

HAL 9000

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Zitat:

Original von Elvandy100
Verstehe gerade nicht was mit dem sin(2x) passiert ist ?

Was soll damit passiert sein? Ich habe geschrieben, wie man einem Teilterm der Gleichung geeignet umwandeln kann - NICHTS WEITER!!! Forum Kloppe

Forum Kloppe

31.07.2013, 19:51

Elvandy100

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Habe es oben verbessert !

achso sry das hatte ich anders versanden.

31.07.2013, 20:07

HAL 9000

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Jetzt verstehe ich erst. Wie viele andere schaust du nur die Formeln an, aber ignorierst bedauerlicherweise den Begleittext: Ich hatte ja

Zitat:

Original von HAL 9000
Benutze $\begin{eqnarray*} \cos^2(x)-\sin^2(x)=\cos(2x) \end{eqnarray*}$ , und dann kannst du [...]

geschrieben, und du hast es so gedeutet, als hätte ich

Zitat:

Umgeformt wird die Gleichung zu $\begin{eqnarray*} \cos^2(x)-\sin^2(x)=\cos(2x) \end{eqnarray*}$

geschrieben. unglücklich

unglücklich

Also zurück zum Thema: Nach dem Einsetzen von $\begin{eqnarray*} \cos^2(x)-\sin^2(x)=\cos(2x) \end{eqnarray*}$ wird deine Gleichung zu

$\begin{eqnarray*} \cos(2x) - \cos(2x)\sin(2x) = 0 \end{eqnarray*}$

und dann kannst du ausklammern...

31.07.2013, 20:27

Elvandy100

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Ah ok =) jetzt habe ich es erst richtig gecheckt Hammer

Hammer

Muss gleich am eine pause machen Augenzwinkern

Augenzwinkern

also dann habe ich ja

1. Fall cos(2x) = 0

2. Fall sin(2x) = -1 oder ?

31.07.2013, 20:29

HAL 9000

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Der 1.Fall ist richtig.

Zitat:

Original von Elvandy100
2. Fall sin(2x) = -1 oder ?

Nein, ohne Minus: $\begin{eqnarray*} \sin(2x) = 1 \end{eqnarray*}$

31.07.2013, 20:36

Elvandy100

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oh klar stimmt !!

Dann mal vielen dank für deine zeit und hilfe =) Freude

Freude

Freude

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