Grenzverteilung der Summe normalverteilter Zufallsvariablen

31.07.2013, 21:30

tripleD

Grenzverteilung der Summe normalverteilter Zufallsvariablen

Meine Frage:
Hallo zusammen!

Ich sitze gerade an einer Altklausur in Ökonometrie (mit Schwerpunkt Mathematik). Folgende Aufgabe bereitet mir große Probleme:

$\begin{eqnarray*} U_i \end{eqnarray*}$ sei $\begin{eqnarray*} N(\mu_i,\sigma^2) \end{eqnarray*}$ -verteilt, und $\begin{eqnarray*} V_i \end{eqnarray*}$ sei $\begin{eqnarray*} N(0,\sigma^2) \end{eqnarray*}$ -verteilt. Dabei sind $\begin{eqnarray*} U_1,...,U_p \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} V_1,...,V_q \end{eqnarray*}$ unabhängige reelle Zufallsvariablen und $\begin{eqnarray*} \mu_i \in \mathbb{R}, \sigma^2 >0 \end{eqnarray*}$ .

Nun soll die Grenzverteilung folgenden Ausdrucks bestimmt werden:

$\begin{eqnarray*} \frac{(U_1^2+...+U_p^2)/p}{(V_1^2+...+V_q^2)/q} \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ fest ist und $\begin{eqnarray*} q \rightarrow \infty \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Ich würde zunächst Zähler und Nenner separat analysieren.

Da $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ fest ist, handelt sich bei $\begin{eqnarray*} U_1^2+...+U_p^2 \end{eqnarray*}$ um eine endliche Summe. Diese Summe ist dann $\begin{eqnarray*} N(\mu_1+...+\mu_p, p^2 \cdot \sigma^2) \end{eqnarray*}$ -verteilt. Nun bekomme ich schon Schwierigkeiten, da ja noch durch $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ geteilt werden soll.
Im Nenner bereitet mir die Tatsache, dass $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ nicht endlich ist, Schwierigkeiten.

Außerdem habe ich die $\begin{eqnarray*} \chi^2 \end{eqnarray*}$ -Verteilung im Kopf. Diese setzt allerdings Standardnormalverteilung voraus, die ja bei den $\begin{eqnarray*} V_i \end{eqnarray*}$ gegeben ist.

Einige Puzzleteile habe ich also; am Zusammenfügen scheitert es aber.

Danke schonmal für jede Hilfe!

31.07.2013, 21:44

HAL 9000

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Zitat:

Original von tripleD
Diese Summe ist dann $\begin{eqnarray*} N(\mu_1+...+\mu_p, p^2 \cdot \sigma^2) \end{eqnarray*}$ -verteilt.

Nein - du scheinst die Quadrate zu ignorieren. unglücklich

Schau mal bei der Chi-Quadrat-Verteilung vorbei.

EDIT: Achso, ist dir ja eigentlich bewusst. Dann verstehe ich es umso weniger, dass du das geschrieben hast. verwirrt

31.07.2013, 22:01

tripleD

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Zitat:

Original von HAL 9000
Dann verstehe ich es umso weniger, dass du das geschrieben hast. verwirrt

Der Grund dafür ist, dass ich an die Chi-Quadrat-Verteilung nur denke, wenn standardnormale Zufallsvariablen vorliegen. Das ist ja bei den $\begin{eqnarray*} U_i \end{eqnarray*}$ nicht der Fall (Erwartungswert > 0) verwirrt

31.07.2013, 22:20

HAL 9000

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Ich bin beim Zähler auch etwas ratlos, denn das ist keine Standardverteilung - stand das wirklich so da? verwirrt

Im Falle $\begin{eqnarray*} \sigma \ll \mu_i \end{eqnarray*}$ könnte ich mir allenfalls eine näherungsweise Verteilung vorstellen: Es sind $\begin{eqnarray*} Z_i:=\frac{U_i-\mu_i}{\sigma} \end{eqnarray*}$ standardnormalverteilt, dann folgt mit $\begin{eqnarray*} U_i = \mu_i + \sigma Z_i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{p} \sum_{i=1}^p U_i^2 = \frac{1}{p} \sum_{i=1}^p (\mu_i^2 + 2\mu_i\sigma Z_i + \sigma^2 Z_i^2) = \frac{1}{p} \sum_{i=1}^p \mu_i^2 + \frac{2\sigma}{p}\sum_{i=1}^p \mu_i Z_i + \frac{\sigma^2}{p}\sum_{i=1}^p Z_i^2 \approx \sigma^2 + \frac{1}{p} \sum_{i=1}^p \mu_i^2 + \frac{2\sigma}{p}\sum_{i=1}^p \mu_i Z_i \sim \mathcal{N}(\mu',\sigma'^2) \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} \mu' = \sigma^2 + \frac{1}{p} \sum_{i=1}^p \mu_i^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sigma'^2 = \frac{4\sigma^2}{p^2} \sum_{i=1}^p \mu_i^2 \end{eqnarray*}$

Dabei habe ich frecherweise $\begin{eqnarray*} Z_i^2\approx E(Z_i^2)=1 \end{eqnarray*}$ approximiert, wie gesagt ist das nur im Fall $\begin{eqnarray*} \sigma \ll \mu_i \end{eqnarray*}$ einigermaßen statthaft.

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Bei der Nennerverteilung muss man wegen $\begin{eqnarray*} q\to\infty \end{eqnarray*}$ schlicht an das Gesetz der großen Zahlen denken.

31.07.2013, 22:37

tripleD

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Einen Fehler in der Aufgabenstellung kann ich ausschließen. Ich habe es richtig abgeschrieben und die Klausur wurde von zahlreichen Studenten ohne nachträgliche Beschwerden geschrieben (ich bin durchgefallen... Hammer

).

Um das schwache Gesetz der großen Zahl anwenden zu können, muss im Nenner doch $\begin{eqnarray*} \sqrt{q} \end{eqnarray*}$ anstatt $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ stehen, oder etwa nicht? Falls dem so wäre, so würde der Nenner gegen 0 konvergieren...

31.07.2013, 22:40

HAL 9000

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Ich rede nicht vom ZGWS im Nenner, nein wie ich sagte: Vom Gesetz der großen Zahlen. Und der bedeutet, dass der Nenner gegen die Konstante $\begin{eqnarray*} E(V_1)^2 = \sigma^2 \end{eqnarray*}$ konvergiert, d.h. als Grenzverteilung die Einpunktverteilung in diesem Punkt $\begin{eqnarray*} \sigma^2 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von tripleD
und die Klausur wurde von zahlreichen Studenten ohne nachträgliche Beschwerden geschrieben

Dann bin ich ehrlich gespannt, welche Antwort dort erwartet wird. Bereits für p=1 ist die Zählerverteilung nicht gerade Standard.

EDIT: Hmm, vielleicht lässt sich über die charakteristische Funktion was machen hinsichtlich der exakten Verteilung des Zählers. Ich bin immer noch schwer beeindruckt, dass bei euch sowas in der Klausur drankommt - da müsst ihr doch sowas ähnliches in Vorlesung/Übung gerechnet haben. verwirrt

01.08.2013, 12:43

tripleD

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Das Niveau dieser Vorlesung ist insgesamt sehr, sehr hoch. Eine Lösung zur Klausur wird leider nicht bereitgestellt werden. Ich habe eine Idee für den Zähler.

Setze $\begin{eqnarray*} X_i = U_i-\mu_i \end{eqnarray*}$ . Die $\begin{eqnarray*} X_i \end{eqnarray*}$ sind unabhängig identisch verteilt zu $\begin{eqnarray*} N(0,\sigma^2) \end{eqnarray*}$ .

Nun gilt für $\begin{eqnarray*} U_1^2+...+U_p^2 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} L((X_1+\mu_1)^2+...+(X_p+\mu_p)^2) = L((X_1+||\mu||)^2+X_2^2+...+X_p^2) \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ die Verteilung bezeichnet. Das letzte $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ wurde in einer Übung bewiesen (welche ironischerweise auch in der Klausur drankam).

Kannst du damit etwas anfangen? Bringt das was?

01.08.2013, 16:28

HAL 9000

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Zitat:

Original von tripleD
$\begin{eqnarray*} L((X_1+\mu_1)^2+...+(X_p+\mu_p)^2) = L((X_1+||\mu||)^2+X_2^2+...+X_p^2) \end{eqnarray*}$

Dabei meinst du die euklidische Norm $\begin{eqnarray*} \|\mu\| = \sqrt{\mu_1^2+\ldots+\mu_p^2} \end{eqnarray*}$ ?

Ja, sowas habe ich auch (etwas länglicher) über die charakteristischen Funktionen raus. Aber wird diese Darstellung bereits als "Angabe der Verteilung" akzeptiert? Da muss man auch erstmal draufkommen: Für mich war das bisher immer (von Standardverteilungen abgesehen) eher die Angabe von Verteilungsfunktion oder Dichte... Augenzwinkern

01.08.2013, 16:40

tripleD

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Die endgültige Lösung ist das noch lange nicht, zumal man ja auch noch den Nenner betrachten muss.

Ich meine nicht die euklidische Norm, sondern $\begin{eqnarray*} ||x||^2 = x_1^2+...+x_n^2 \end{eqnarray*}$ . Das hätte ich wohl noch dazu schreiben sollen.

Nichtsdestotrotz ist damit das Ergebnis nach wie vor in weiter Ferne unglücklich

An dieser Stelle will ich mich aber für deine kontinuierliche Hilfe bedanken.

01.08.2013, 17:26

HAL 9000

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Zitat:

Original von tripleD
Ich meine nicht die euklidische Norm, sondern $\begin{eqnarray*} ||x||^2 = x_1^2+...+x_n^2 \end{eqnarray*}$ .

Da links ein Quadrat steht, IST das dasselbe (natürlich meinst du n=p, denn es gibt ja nur die p Komponenten $\begin{eqnarray*} \mu_1,\ldots,\mu_p \end{eqnarray*}$ ). Ich finde dieses dein "nicht die euklidische Norm" etwas befremdlich. unglücklich

01.08.2013, 17:41

tripleD

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Ja, natürlich hast du recht. Dieser Prof. raubt mir echt noch den letzten Nerv. Zu allem Überfluss entscheidet diese Prüfung darüber, ob ich dieses Semester meinen Bachelor-Abschluss erhalte, oder die Prüfung in einem Jahr ein zweites Mal nachschreiben muss. Naja, ich geb Gas.

13.08.2013, 22:08

tripleD

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Ich bin inzwischen etwas weiter bzw. kurz vor dem Ziel (glaube ich). Also zurück zur Aufgabe.

Zunächst konvergiert der Nenner nach dem Gesetz der großen Zahl gegen $\begin{eqnarray*} \sigma^2 \end{eqnarray*}$ .

Man erweitere nun Zähler und Nenner mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sigma^2} \end{eqnarray*}$ . Damit konvergiert der Nenner gegen Eins. Übrig bleibt der Zähler, der nun folgendermaßen aussieht:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{\sigma^2} \frac{1}{p} (U_1^2+...+U_p^2) \end{eqnarray*}$

Meine Idee ist nun, das $\begin{eqnarray*} \sigma^2 \end{eqnarray*}$ in die Verteilung der $\begin{eqnarray*} U_i^2 \end{eqnarray*}$ hineinzuziehen, sodass sich darin dann die Varianz "kürzen" lässt, d.h. die Varianz der $\begin{eqnarray*} U_i \end{eqnarray*}$ beträgt nun Eins. Das Endergebnis wird dann wohl die Chi-Quadrat-Verteilung mit einem gewissen Verschiebungsparameter sein.

Macht das Sinn? Kann das jemand sinnvoll zu Ende führen?

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